O seguinte não é correto: O que Gödel mostrou é precisamente que isso não pode ser feito porque há verdades aritméticas que não podem ser demonstradas logicamente em qualquer sistema suficientemente forte para conter a aritmética.
Já falei que PA + regra de Shoenfield, um sistema não-construtivo mas razoável e manipulável, prova todas as verdades da aritmética. (E a formulação acima está confusa: pega uma dessas verdades, X. O sistema PA + X prova-a, sem problemas. Se X for ∏1, melhor ainda, pois PA + X é quase irmão-gêmeo de PA.) 2008/9/21 Desidério Murcho <[EMAIL PROTECTED]> > Olá, Ricardo! > > > > Este argumento parece-me mau: > > > > Penso que não podemos nos enganar e esquecer que, de uma forma ou de outra, > uma das funções principais daS filosofiaS, que as fazem existir, é, como na > religião, dar "conforto espiritual, bem-estar de alma"; mesmo que na forma > do apego a microcertezas para poder julgar o mundo e estabelecer seu próprio > valor; é sempre bom lebrar aquela passagem de Nietzche: "como todo > transportador de carga quer ter seu admirador, mesmo o mais orgulhoso dos > homens, o filósofo, pensa ver por todos os lados os olhos do universo > telescopicamente em mira de seu agir e pensar"; e falo também de mim, se é > que me entende. > > O argumento reduz-se a isto: "Nietzsche disse que P, logo P". Acontece que > isto, independentemente de ser dito por Nietzsche ou por Hitler, é > historicamente falso, porque: > > 1) Nada nos escritos da maior parte dos filósofos > permite afirmar que o objectivo deles era encontrar conforto espiritual. > > 2) Em muitos escritos de filósofos encontramos > precisamente o apelo contrário; é o caso de Quine: > http://www.intelectu.com/intelectu_win_12_06.html > > 3) Falando com muitos filósofos, eles não > concordam com a sua posição perante a filosofia. > > Claro, será verdade que algumas pessoas vêem a filosofia dessa maneira? > Sim. Será essa visão da filosofia preponderante ou filosoficamente > significativa? Esta questão já é mais interessante, pois tanto a tese > radical de que nenhum filósofo vê a filosofia dessa maneira como a de que > todos a vêem assim parecem-me historicamente falsas. Seja qual for a > resposta a esta questão, todavia, de nada vale fingir que é óbvia a resposta > que preferimos só porque concorda com a visão que nós mesmos temos da > filosofia. A filosofia serve e tem servido para muitas coisas ao longo da > história, e qualquer pessoa pode evidentemente fazer o que lhe apetecer > dela. Mas a mentira histórica em nada nos ajuda a ter uma visão mais clara > das coisas. E a verdade é que muitos filósofos encaram como função principal > da filosofia a procura de verdades (e não da Verdade religiosa), e não o > conforto espiritual. Até porque muitos filósofos não acreditam sequer que > tenhamos espírito ou alma (conceitos extremamente difíceis de articular > coerentemente, quanto mais tornar plausíveis). > > Acho que TODOS temos a contribuir nessa jornada em busca da Verdade, que, > no fundo, é uma busca da Verdade sobre nós mesmo (mesmo que existam os que > não se dêem conta disso). > > Não concordo, se me for permitido. A maior parte das verdades não são sobre > nós mesmos, excepto quando temos uma concepção algo narcísica da verdade, > sacrificando-a ao que nos é confortável. Defenderei sempre o direito das > pessoas a ter esta visão algo narcísica da verdade e da filosofia, mas é um > exagero dizer que quem não concorda com ela é porque não se dá conta disso. > Pensemos, por exemplo, no problema dos universais ou das verdades > necessárias alógicas. O que tem isto a ver comigo mesmo? Quero saber se há > universais ou não e qual é a sua natureza, quero saber se há verdades > necessárias que não sejam verdades da lógica e qual é a sua natureza; mas > nada disto tem seja o que for a ver comigo ou com o meu conforto espiritual. > Defenderei sempre quem quiser sacrificar a verdade ao conforto espiritual e > quem quiser ver o seu próprio umbigo em todo o lado, mas não vou fingir > publicamente que penso que tal modo de vida é defensável. Não penso tal > coisa, mas as pessoas têm o direito de viver como quiserem e de fazer da > filosofia o que lhes apetecer. > > Assim, não somos mais, nem menos, por sermos filósofos: somos apenas > filósofos; > > Aqui concordo plenamente. Sempre argumentei contra os discursos exagerados > que fazem da filosofia a coisa mais importante do mundo. Não é. Há coisas > muito mais importantes, como ter água quando temos sede, amor e honestidade. > A filosofia é uma disciplina como as outras, muito sofisticada, mais densa > teoricamente do que muitas e menos complexa do que outras. É uma disciplina > entre outras que procuram compreender melhor a natureza da realidade. Um > filósofo não é superior a um padeiro por ter tido a sorte de ter uma > formação académica, tal como um matemático não é superior a um filósofo por > poder demonstrar teoremas, ao passo que o filósofo tudo o que faz é > articular cuidadosamente especulações e discutir argumentos. > > Voltando a um ponto técnico: discordo de você que, em um e-mail anterior, > disse que "descobrimos com Gödel que a verdade matemática não pode ser > totalmente reduzida à verdade lógica". As definições relativas ao número > apresentadas por Frege nos Fundamentos da Aritmética, como extensão de > conceitos, permite definir o número em termos lógicos e derivar as verdades > da Aritmética das verdades lógicas. O problema não está nessa retradução da > LINGUAGEM da Aritmética para a LINGUAGEM da Lógica, que em última análise > permite a redução da verdade matemática à verdade lógica (da qual podemos > ver a incorreção de sua afirmação), mas em buscar fundamentar a Aritmética > em um sistema (recursivamente) axiomatizável, pois nem mesmo as verdades > lógicas (de uma linguagem que contém a de segunda ordem, como é era o caso > de Frege e Gödel) podem ser (recursivamente) axiomatizáveis. > > Não me parece que possa concordar com isto. Reduzir a construção de números > a uma construção lógica não é suficiente para reduzir a verdade aritmética à > verdade lógica. É também preciso que todas as verdades que se conseguem > atingir com os métodos normais da matemática se consigam atingir no sistema > lógico criado para o efeito. O que Gödel mostrou é precisamente que isso não > pode ser feito porque há verdades aritméticas que não podem ser demonstradas > logicamente em qualquer sistema suficientemente forte para conter a > aritmética. > > Mas, evidentemente, não sou um lógico e os colegas desta área sabem > muitíssimo mais disto do que eu. > > Forte abraço, > > Desidério > > _______________________________________________ > Logica-l mailing list > [email protected] > http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l > >
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