Muitíssimo preciso e claro! Mil obrigados. Aprendi bastante. Um abraço, Desidério
> -----Original Message----- > From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Joao Marcos > Sent: domingo, 21 de Setembro de 2008 19:35 > To: Francisco Antonio Doria > Cc: Desidério Murcho; Logica-L > Subject: Re: [Logica-l] Sem Lógica > > Acho que pode valer a pena esclarecer ainda um pouco melhor este ponto > gödeliano, para o benefício de outros colegas da lista que porventura > possam fazer alguma confusão do mesmo gênero. > > (Se eu falar alguma besteira ou for impreciso, você me corrige, ok, Doria?) > > > O seguinte não é correto: > > > > > O que Gödel mostrou é precisamente que isso não pode ser feito porque há > > > verdades aritméticas que não podem ser demonstradas logicamente em > qualquer > > > sistema suficientemente forte para conter a aritmética. > > Não sei se percebeste, Desidério, mas a ambiguidade está antes de mais > nada na ordem das tuas quantificações (como ocorre no Argumento da > Causa Primeira): não é que haja "verdades aritméticas que não podem > ser demonstradas logicamente em qualquer sistema" tal-e-tal (ou, como > alguém pode entender daí, que haja verdades não demonstráveis em > *nenhum* sistema tal-e-tal) suficientemente forte, mas mais > precisamente que para cada sistema [omega-consistente, ou simplesmente > consistente, e com um conjunto recursivamente enumerável de teoremas] > "suficientemente forte" (basta este sistema conter a aritmética > primitiva recursiva) há "verdades" que este sistema não será capaz de > demonstrar. Se você acrescentar então esta verdade como novo axioma, > obviamente ela passa a ser demonstrável, e o sistema resultante seria > "mais completo" do que o anterior... Mas o diabo do resultado do > Gödel implica a *incompletabilidade*, mais que a *incompletude* (eis > aí mais uma má tradução), e ao acrescentar a tal "nova verdade" como > teorema poder-se-á exibir em seguida uma outra verdade não > demonstrável no novo sistema! > > (Nota as condições de aplicabilidade do teorema, entre > colchetes/parênteses rectos. O problema de usar esta estratégia de ir > acrescentando novas verdades para "completar" a axiomatização inicial > falha justamente pelo fato de que o conjunto de asserções verdadeiras > não é recursivamente enumerável.) > > > Já falei que PA + regra de Shoenfield, um sistema não-construtivo mas > > razoável e manipulável, prova todas as verdades da aritmética. (E a > > formulação acima está confusa: pega uma dessas verdades, X. O sistema PA + X > > prova-a, sem problemas. Se X for ∏1, melhor ainda, pois PA + X é quase > > irmão-gêmeo de PA.) > > Esclarecendo: PA é a "Aritmética de Peano", e a tal regra-ômega (o > ômega é o ordinal do menor número transfinito) é simplesmente uma > regra com um número enumerável de premissas que diz por exemplo que da > verdade de P(0), P(1), ..., P(n), ... se pode derivar Ax.P(x), para > todo natural x. > > Confesso que não faço idéia de qual seria a diferença da regra ômega > de Shoenfield para a de qualquer outro cidadão, mas é fato que a regra > aritmética da indução, por exemplo, obviamente segue da regra-ômega, > estando esta última presente no sistema. É fato também que se > pudermos falar em versões "construtivas" desta regra (por exemplo, com > premissas definidas recursivamente), e se podemos aceitar tais versões > desta regra como "meios finitários" válidos de inferência (é comum > acordo que a aritmética primitiva recursiva como um todo só fornece > "meios finitários válidos") talvez se possa salvar então algo do > programa Formalista de Hilbert (uma boa questão, de qualquer forma, é > o quanto de expressividade deve ser adicionada à linguagem objeto para > que se possa expressar nela tais versões construtivas da regra-ômega). > Há toda uma literatura sobre o assunto, com a qual não tenho muita > familiaridade, e creio que outras pessoas da lista podem assumir a > partir deste ponto. > > Finalmente, as sentenças do tipo Pi_1 são aquelas que têm a forma > Ax.P(x), onde P expressa uma propriedade recursiva (efetivamente > decidível) dos números naturais. As sentenças de incompletude do > Gödel são deste tipo. O argumento gödeliano do Penrose em "Shadows of > the Mind" sobre a implausibilidade de se criar um modelo computacional > para a mente humana também menciona apenas sentenças deste tipo. > > Espero ter contribuído com mais clarificações do que obscuridades. > > JM _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
