Oi pessoal, Eu achava que sairia mais fácil olhando em Z[i.sqrt(2)], mas mesmo assim dá trabalho. Há uma discussão bem mais completa sobre esse problema (que caiu em uma olimpíada polonesa) em https://mathoverflow.net/questions/250312/diophantine-equation-3n-1-2x2 Em particular há uma solução que envolve olhar uma recorrência (ligada à equação de Pell) módulo 27 e módulo 17. Abraços, Gugu
On Fri, Nov 15, 2019 at 5:17 PM Pedro José <[email protected]> wrote: > Boa tarde! > Esdras, > Boa sacada! > (b^2+1)^2=b^4+2b^2+1=b^4+(3^k)^2. > Depois ternos pitagóricos sem restrição de primitivo. > Aí subtraindo a primeira da segunda ou somando dão quadrados perfeitos em > p e q. Basta igualar a1 ou então tira a raiz e iguala u^2 - v^2. Sai que > p-q=1. > Aí fica fácil. > Parabéns! > Falta achar uma lei de geração para outras soluções ou uma restrição > (acredito mais nessa) para a e b ímpares. > Saudações, > PJMS > > Em sex, 15 de nov de 2019 13:05, Pedro José <[email protected]> > escreveu: > >> Bom dia! >> Esdras, >> grato, vou tentar seguir a linha. >> >> Douglas, >> Tentei combinar mod 8 com mod9 e não saiu uma restrição. >> >> Carlos Gustavo, >> teria como propor material sobre o tema que você levantou. Compreendi a >> fatoração, mas não como seriam os primos nesse universo. >> Ainda sem tempo para tentar uma restrição. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 23:21, Esdras Muniz < >> [email protected]> escreveu: >> >>> O caso "a" par eu fiz assim: a=2k, daí, (3^k)^2+ b^4=(d^2+1)^2, então vc >>> usa que para algum par p, q, com 0<q<p, b^2+1=p^2+q^2; b^2=2pq e 3^k= >>> p^2-q^2. Daí vc mostra que p=q+1 e em seguida que q=1. >>> >>> Em ter, 12 de nov de 2019 22:29, Prof. Douglas Oliveira < >>> [email protected]> escreveu: >>> >>>> Será que não sai usando somente congruência módulo 8? >>>> >>>> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 20:07, Pedro José <[email protected]> >>>> escreveu: >>>> >>>>> Boa noite! >>>>> Esdras, >>>>> tem como você postar, mesmo para o caso apenas de n par? >>>>> >>>>> Grato! >>>>> >>>>> Saudações, >>>>> PJMS. >>>>> >>>>> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 19:52, Pedro José <[email protected]> >>>>> escreveu: >>>>> >>>>>> Boa noite! >>>>>> Carlos Gustavo, >>>>>> grato pela luz, estava tão obsecado e só rodando em círculos, tal >>>>>> qual patrulha perdida. >>>>>> >>>>>> Saudações, >>>>>> PJMS >>>>>> >>>>>> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 19:19, Esdras Muniz < >>>>>> [email protected]> escreveu: >>>>>> >>>>>>> Dá para mostrar que a única solução com a e b pares é (2, 2). Agora >>>>>>> com a e b ímpares, não consegui. >>>>>>> >>>>>>> Em ter, 12 de nov de 2019 18:19, Pedro José <[email protected]> >>>>>>> escreveu: >>>>>>> >>>>>>>> Boa noite! >>>>>>>> Agora captei vosso pensamento. >>>>>>>> Só que ao transformar a equação em uma equação de Pell, nós >>>>>>>> maculamos a função 3^n. >>>>>>>> Em verdade a solução para a par a= 2n, seria (2,2); pois, como >>>>>>>> mencionara anteriormente se a é par, b também o é. >>>>>>>> Só que quando procuramos as outras soluções, baseando-se na >>>>>>>> propriedade de que a norma em Q [RAiz(A)] conserva a multiplicação. Só >>>>>>>> que >>>>>>>> quando eu pego a solução >>>>>>>> 3 + 2 Raiz(2) e elevo ao quadrado 17 + 12 Raiz(2). Se eu pegar >>>>>>>> 17^2-2*12^2=1 eu atendo x^2 - 2Y^2=1. E assim sucessivamente. Mas não >>>>>>>> existe n inteiro tal que 3^n=17, então não é uma solução da equação >>>>>>>> original. >>>>>>>> Creio que seja um pouco mais complicada a solução. Pois o difícil é >>>>>>>> saber quando atende também a 3^n. >>>>>>>> Acredito que deva haver uma forma de restringir a essas soluções, >>>>>>>> pois, definir em que condições a solução terá x como uma potência de 3 >>>>>>>> seja >>>>>>>> bem difícil. >>>>>>>> Estou apanhando mais do que mala velha em véspera de viagem. >>>>>>>> Se alguém postar uma solução, me ajudaria bastante. >>>>>>>> >>>>>>>> Saudações, >>>>>>>> PJMS >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> Saudações, >>>>>>>> PJMS. >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 17:25, Pedro José < >>>>>>>> [email protected]> escreveu: >>>>>>>> >>>>>>>>> Boa tarde! >>>>>>>>> Douglas, >>>>>>>>> perdoe-me pela minha miopia, mas você poderia detalhar melhor onde >>>>>>>>> entra a equação de Pell? >>>>>>>>> A equação de Pell não é x^2-Dy^2 = N? >>>>>>>>> Se a é par b é par e se a ímpar b é ímpar para atender mod8, >>>>>>>>> Não consegui captar a sugestão. >>>>>>>>> >>>>>>>>> Saudações, >>>>>>>>> PJMS >>>>>>>>> >>>>>>>>> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 16:50, Prof. Douglas Oliveira < >>>>>>>>> [email protected]> escreveu: >>>>>>>>> >>>>>>>>>> Hummmmm, então, vamos analisar o caso de a ser par do tipo 2n. >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> Assim podemos escrever que (3^n+b(sqrt2))(3^n-b(sqrt2))=1 >>>>>>>>>> Dai através da solução mínima que o Pedro fez, como (1,1) por >>>>>>>>>> exemplo, da pra ver que são infinitas soluções usando a equação de >>>>>>>>>> Pell. >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> Abraco >>>>>>>>>> Douglas Oliveira. >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> Em dom, 10 de nov de 2019 19:33, gilberto azevedo < >>>>>>>>>> [email protected]> escreveu: >>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> [HELP] >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> Achas todos os pares (a,b) inteiros positivos tais que : >>>>>>>>>>> 3^a = 2b² + 1. >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> -- >>>>>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> -- >>>>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>>>>> >>>>>>>>> >>>>>>>> -- >>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> -- >>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>> >>>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
