Há algum tempo eu dei, no Yahoo Respostas, uma outra prova para este limite. Está em
https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080407130216AAlhppk Em ter, 28 de ago de 2018 15:09, Artur Steiner < [email protected]> escreveu: > > Uma outra prova, além das duas já apresentadas pelo Cláudio, é a seguinte: >> >> Como SOMA a_n converge, a_n decresce para 0. Para k = 1, 2, 3 ..., >> façamos Sk = SOMA (n = k, oo) a_n. Então Sk decresce para 0. Fixado k, para >> n > k temos que >> >> 0 <= (n - k + 1) a_n <= a_k ... + a_n <= S_k >> 0 <= n a_n <= (k - 1) a_n + Sk >> >> Como esta desugualdade vale para todo n > k, temos que >> >> 0 <= limsup n a_n <= limsup ((k - 1) a_n + Sk )= lim ((k - 1) a_n + Sk) >> = (k - 1) . 0 + Sk = Sk >> >> 0 <= limsup n a_n <= Sk >> >> Como esta última desigualdade vale para todo k e Sk decresce para 0, >> segue-se que limsup n a_n = 0. E como os termos n a_n são >= 0, temos que >> >> liminf n a_n >= 0 = limsup n a_n, deduzindo-se portanto que >> >> liminf n a_n = limsup n a_n = lim n a_n = 0 >> >> >> Artur Costa Steiner >> >> Em ter, 28 de ago de 2018 12:26, Pedro José <[email protected]> >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Cláudio, >>> perdi um tempão tentando entender: >>> (i) n > N ==> a(2n) < eps/2 >>> e >>> (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4. >>> >>> Desisti e segui em frente. Pelo que vi em seguida, pensei não seria, >>> como abaixo? >>> >>> (i) Soma(i=1 a 2n) aN+i < eps/2 >>> >>> (ii) Soma (i=1 a n) aN+n+i < eps/4 >>> >>> depois tomar bj= aN+j >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> >>> >>> Em ter, 28 de ago de 2018 às 07:29, Artur Steiner < >>> [email protected]> escreveu: >>> >>>> >>>> >>>> Artur Costa Steiner >>>> >>>> Em seg, 27 de ago de 2018 23:44, Claudio Buffara < >>>> [email protected]> escreveu: >>>> >>>>> Seja (a(n)) monótona decrescente e tal que SOMA a(n) converge. >>>>> >>>>> Seja eps > 0. >>>>> Como SOMA a(n) converge, existe N tal que: >>>>> (i) n > N ==> a(2n) < eps/2 >>>>> e >>>>> (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4. >>>>> >>>>> Como (a(n)) é decrescente, n*a(2n) < a(n+1) + ... + a(2n) < eps/4 ==> >>>>> (2n)*a(2n) < eps/2 < eps >>>>> Ou seja, a subsequência (2n)*a(2n) -> 0. >>>>> >>>>> Além disso, (2n+1)*a(2n+1) < (2n+1)*a(2n) = 2n*a(2n) + a(2n) < eps/2 + >>>>> eps/2 = eps ==> >>>>> a subsequência (2n+1)*a(2n+1) -> 0. >>>>> >>>>> Logo n*a(n) -> 0. >>>>> >>>>> Um contra-exemplo pra recíproca é a(n) = 1/n*log(n). >>>>> (a(n)) é decrescente e n*a(n) -> 0 mas SOMA a(n) diverge. >>>>> >>>>> *** >>>>> >>>>> Inicialmente eu pensei em em provar por contradição, supondo que >>>>> n*a(n) -> a > 0. >>>>> Nesse caso, existe N tal que n > N ==> n*a(n) > a/2 ==> a(n) > (a/2)/n >>>>> ==> SOMA a(n) diverge por comparação com a série harmônica. >>>>> Mas e se lim n*a(n) não existir? >>>>> >>>> >>>> Mas como a_n é decrescente e SOMA a_n converge, lim n a_n existe! >>>> >>>> Para todo n >>>> >>>> n a_n = (a_1 + ... + a_n) - ((a_1 _ a_n) ... + (a_n - a_n)) >>>> >>>> No 1o parênteses, temos a seq. das somas parciais de a_n que, por >>>> hipótese, converge. No segundo, temos uma seq. crescente e dominada pela do >>>> 1o, que, sendo convergente, é limitada. Logo a 2a seq é crescente e >>>> limitada, sendo portanto convergente. >>>> >>>> Sendo n a_n a diferença de 2 seqs. convergentes, lim n a_n existe. E, >>>> como vc mostrou, tem então que ser 0. >>>> >>>> Artur >>>> >>>>> >>>>> []s, >>>>> Claudio. >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> On Mon, Aug 27, 2018 at 4:44 PM Artur Steiner < >>>>> [email protected]> wrote: >>>>> >>>>>> Mostre que, se a_n é uma sequência monótona de reais tal que Soma a_n >>>>>> converge, então lim n a_n = 0. A recíproca não é verdadeira. >>>>>> >>>>>> Basta supor que a_n é decrescente. >>>>>> >>>>>> Dedte limite decorre a que talvez seja a mais simples prova de que a >>>>>> série harmônica diverge. (Desde que na prova do limite já não se use a >>>>>> divergência da série harmônica.) >>>>>> >>>>>> Artur Costa Steiner >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
