Seja (a(n)) monótona decrescente e tal que SOMA a(n) converge. Seja eps > 0. Como SOMA a(n) converge, existe N tal que: (i) n > N ==> a(2n) < eps/2 e (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4.
Como (a(n)) é decrescente, n*a(2n) < a(n+1) + ... + a(2n) < eps/4 ==> (2n)*a(2n) < eps/2 < eps Ou seja, a subsequência (2n)*a(2n) -> 0. Além disso, (2n+1)*a(2n+1) < (2n+1)*a(2n) = 2n*a(2n) + a(2n) < eps/2 + eps/2 = eps ==> a subsequência (2n+1)*a(2n+1) -> 0. Logo n*a(n) -> 0. Um contra-exemplo pra recíproca é a(n) = 1/n*log(n). (a(n)) é decrescente e n*a(n) -> 0 mas SOMA a(n) diverge. *** Inicialmente eu pensei em em provar por contradição, supondo que n*a(n) -> a > 0. Nesse caso, existe N tal que n > N ==> n*a(n) > a/2 ==> a(n) > (a/2)/n ==> SOMA a(n) diverge por comparação com a série harmônica. Mas e se lim n*a(n) não existir? []s, Claudio. On Mon, Aug 27, 2018 at 4:44 PM Artur Steiner <[email protected]> wrote: > Mostre que, se a_n é uma sequência monótona de reais tal que Soma a_n > converge, então lim n a_n = 0. A recíproca não é verdadeira. > > Basta supor que a_n é decrescente. > > Dedte limite decorre a que talvez seja a mais simples prova de que a série > harmônica diverge. (Desde que na prova do limite já não se use a > divergência da série harmônica.) > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
