Como SOMA a(n) converge (pra S, digamos),
(i) o termo geral tende a zero e, em particular, a(2n) -> 0, quando n ->
infinito.
Isso quer dizer que, dado eps > 0, existe N1 tal que se n > N1, então a(2n)
< eps/2
e
(ii) o "resto" da série (S - SOMA(k=1...n) a(k), que é igual a SOMA(k>n)
a(k) também -> 0.
Ou seja, dado o mesmo eps > 0 que acima, existe N2 tal que se n > N2, então
SOMA(n>N2) < eps/4.
Logo, tomando N = max{N1,N2} você obtém as condições que eu usei.
On Tue, Aug 28, 2018 at 12:26 PM Pedro José <[email protected]> wrote:
> Boa tarde!
> Cláudio,
> perdi um tempão tentando entender:
> (i) n > N ==> a(2n) < eps/2
> e
> (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4.
>
> Desisti e segui em frente. Pelo que vi em seguida, pensei não seria, como
> abaixo?
>
> (i) Soma(i=1 a 2n) aN+i < eps/2
>
> (ii) Soma (i=1 a n) aN+n+i < eps/4
>
> depois tomar bj= aN+j
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
> Em ter, 28 de ago de 2018 às 07:29, Artur Steiner <
> [email protected]> escreveu:
>
>>
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> Em seg, 27 de ago de 2018 23:44, Claudio Buffara <
>> [email protected]> escreveu:
>>
>>> Seja (a(n)) monótona decrescente e tal que SOMA a(n) converge.
>>>
>>> Seja eps > 0.
>>> Como SOMA a(n) converge, existe N tal que:
>>> (i) n > N ==> a(2n) < eps/2
>>> e
>>> (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4.
>>>
>>> Como (a(n)) é decrescente, n*a(2n) < a(n+1) + ... + a(2n) < eps/4 ==>
>>> (2n)*a(2n) < eps/2 < eps
>>> Ou seja, a subsequência (2n)*a(2n) -> 0.
>>>
>>> Além disso, (2n+1)*a(2n+1) < (2n+1)*a(2n) = 2n*a(2n) + a(2n) < eps/2 +
>>> eps/2 = eps ==>
>>> a subsequência (2n+1)*a(2n+1) -> 0.
>>>
>>> Logo n*a(n) -> 0.
>>>
>>> Um contra-exemplo pra recíproca é a(n) = 1/n*log(n).
>>> (a(n)) é decrescente e n*a(n) -> 0 mas SOMA a(n) diverge.
>>>
>>> ***
>>>
>>> Inicialmente eu pensei em em provar por contradição, supondo que n*a(n)
>>> -> a > 0.
>>> Nesse caso, existe N tal que n > N ==> n*a(n) > a/2 ==> a(n) > (a/2)/n
>>> ==> SOMA a(n) diverge por comparação com a série harmônica.
>>> Mas e se lim n*a(n) não existir?
>>>
>>
>> Mas como a_n é decrescente e SOMA a_n converge, lim n a_n existe!
>>
>> Para todo n
>>
>> n a_n = (a_1 + ... + a_n) - ((a_1 _ a_n) ... + (a_n - a_n))
>>
>> No 1o parênteses, temos a seq. das somas parciais de a_n que, por
>> hipótese, converge. No segundo, temos uma seq. crescente e dominada pela do
>> 1o, que, sendo convergente, é limitada. Logo a 2a seq é crescente e
>> limitada, sendo portanto convergente.
>>
>> Sendo n a_n a diferença de 2 seqs. convergentes, lim n a_n existe. E,
>> como vc mostrou, tem então que ser 0.
>>
>> Artur
>>
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>>
>>> On Mon, Aug 27, 2018 at 4:44 PM Artur Steiner <
>>> [email protected]> wrote:
>>>
>>>> Mostre que, se a_n é uma sequência monótona de reais tal que Soma a_n
>>>> converge, então lim n a_n = 0. A recíproca não é verdadeira.
>>>>
>>>> Basta supor que a_n é decrescente.
>>>>
>>>> Dedte limite decorre a que talvez seja a mais simples prova de que a
>>>> série harmônica diverge. (Desde que na prova do limite já não se use a
>>>> divergência da série harmônica.)
>>>>
>>>> Artur Costa Steiner
>>>>
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>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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