> Uma outra prova, além das duas já apresentadas pelo Cláudio, é a seguinte: > > Como SOMA a_n converge, a_n decresce para 0. Para k = 1, 2, 3 ..., façamos > Sk = SOMA (n = k, oo) a_n. Então Sk decresce para 0. Fixado k, para n > k > temos que > > 0 <= (n - k + 1) a_n <= a_k ... + a_n <= S_k > 0 <= n a_n <= (k - 1) a_n + Sk > > Como esta desugualdade vale para todo n > k, temos que > > 0 <= limsup n a_n <= limsup ((k - 1) a_n + Sk )= lim ((k - 1) a_n + Sk) = > (k - 1) . 0 + Sk = Sk > > 0 <= limsup n a_n <= Sk > > Como esta última desigualdade vale para todo k e Sk decresce para 0, > segue-se que limsup n a_n = 0. E como os termos n a_n são >= 0, temos que > > liminf n a_n >= 0 = limsup n a_n, deduzindo-se portanto que > > liminf n a_n = limsup n a_n = lim n a_n = 0 > > > Artur Costa Steiner > > Em ter, 28 de ago de 2018 12:26, Pedro José <[email protected]> > escreveu: > >> Boa tarde! >> Cláudio, >> perdi um tempão tentando entender: >> (i) n > N ==> a(2n) < eps/2 >> e >> (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4. >> >> Desisti e segui em frente. Pelo que vi em seguida, pensei não seria, como >> abaixo? >> >> (i) Soma(i=1 a 2n) aN+i < eps/2 >> >> (ii) Soma (i=1 a n) aN+n+i < eps/4 >> >> depois tomar bj= aN+j >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> >> >> Em ter, 28 de ago de 2018 às 07:29, Artur Steiner < >> [email protected]> escreveu: >> >>> >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> Em seg, 27 de ago de 2018 23:44, Claudio Buffara < >>> [email protected]> escreveu: >>> >>>> Seja (a(n)) monótona decrescente e tal que SOMA a(n) converge. >>>> >>>> Seja eps > 0. >>>> Como SOMA a(n) converge, existe N tal que: >>>> (i) n > N ==> a(2n) < eps/2 >>>> e >>>> (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4. >>>> >>>> Como (a(n)) é decrescente, n*a(2n) < a(n+1) + ... + a(2n) < eps/4 ==> >>>> (2n)*a(2n) < eps/2 < eps >>>> Ou seja, a subsequência (2n)*a(2n) -> 0. >>>> >>>> Além disso, (2n+1)*a(2n+1) < (2n+1)*a(2n) = 2n*a(2n) + a(2n) < eps/2 + >>>> eps/2 = eps ==> >>>> a subsequência (2n+1)*a(2n+1) -> 0. >>>> >>>> Logo n*a(n) -> 0. >>>> >>>> Um contra-exemplo pra recíproca é a(n) = 1/n*log(n). >>>> (a(n)) é decrescente e n*a(n) -> 0 mas SOMA a(n) diverge. >>>> >>>> *** >>>> >>>> Inicialmente eu pensei em em provar por contradição, supondo que n*a(n) >>>> -> a > 0. >>>> Nesse caso, existe N tal que n > N ==> n*a(n) > a/2 ==> a(n) > (a/2)/n >>>> ==> SOMA a(n) diverge por comparação com a série harmônica. >>>> Mas e se lim n*a(n) não existir? >>>> >>> >>> Mas como a_n é decrescente e SOMA a_n converge, lim n a_n existe! >>> >>> Para todo n >>> >>> n a_n = (a_1 + ... + a_n) - ((a_1 _ a_n) ... + (a_n - a_n)) >>> >>> No 1o parênteses, temos a seq. das somas parciais de a_n que, por >>> hipótese, converge. No segundo, temos uma seq. crescente e dominada pela do >>> 1o, que, sendo convergente, é limitada. Logo a 2a seq é crescente e >>> limitada, sendo portanto convergente. >>> >>> Sendo n a_n a diferença de 2 seqs. convergentes, lim n a_n existe. E, >>> como vc mostrou, tem então que ser 0. >>> >>> Artur >>> >>>> >>>> []s, >>>> Claudio. >>>> >>>> >>>> >>>> On Mon, Aug 27, 2018 at 4:44 PM Artur Steiner < >>>> [email protected]> wrote: >>>> >>>>> Mostre que, se a_n é uma sequência monótona de reais tal que Soma a_n >>>>> converge, então lim n a_n = 0. A recíproca não é verdadeira. >>>>> >>>>> Basta supor que a_n é decrescente. >>>>> >>>>> Dedte limite decorre a que talvez seja a mais simples prova de que a >>>>> série harmônica diverge. (Desde que na prova do limite já não se use a >>>>> divergência da série harmônica.) >>>>> >>>>> Artur Costa Steiner >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > >
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