Uma outra prova, além das duas já apresentadas pelo Cláudio, é a seguinte:
Como SOMA a_n converge, a_n decresce para 0. Para k = 1, 2, 3 ..., façamos Sk = SOMA (n = k, oo) a_n. Então Sk decresce para 0. Fixado k, para n > k temos que 0 <= (n - k + 1) a_n <= a_k ... + a_n <= S_k 0 <= n a_n <= (k - 1) a_n + Sk Como esta desugualdade vale para todo n > k, temos que 0 <= limsup n a_n <= limsup ((k - 1) a_n + Sk )= lim ((k - 1) a_n + Sk) = (k - 1) . 0 + Sk = Sk 0 <= limsup n a_n <= Sk Como esta última desigualdade vale para todo k e Sk decresce para 0, segue-se que limsup n a_n = 0. E como os termos n a_n são >= 0, temos que liminf n a_n >= 0 = limsup n a_n, deduzindo-se portanto que liminf n a_n = limsup n a_n = lim n a_n = 0 Artur Artur Costa Steiner Em ter, 28 de ago de 2018 12:26, Pedro José <[email protected]> escreveu: > Boa tarde! > Cláudio, > perdi um tempão tentando entender: > (i) n > N ==> a(2n) < eps/2 > e > (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4. > > Desisti e segui em frente. Pelo que vi em seguida, pensei não seria, como > abaixo? > > (i) Soma(i=1 a 2n) aN+i < eps/2 > > (ii) Soma (i=1 a n) aN+n+i < eps/4 > > depois tomar bj= aN+j > > Saudações, > PJMS > > > > > Em ter, 28 de ago de 2018 às 07:29, Artur Steiner < > [email protected]> escreveu: > >> >> >> Artur Costa Steiner >> >> Em seg, 27 de ago de 2018 23:44, Claudio Buffara < >> [email protected]> escreveu: >> >>> Seja (a(n)) monótona decrescente e tal que SOMA a(n) converge. >>> >>> Seja eps > 0. >>> Como SOMA a(n) converge, existe N tal que: >>> (i) n > N ==> a(2n) < eps/2 >>> e >>> (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4. >>> >>> Como (a(n)) é decrescente, n*a(2n) < a(n+1) + ... + a(2n) < eps/4 ==> >>> (2n)*a(2n) < eps/2 < eps >>> Ou seja, a subsequência (2n)*a(2n) -> 0. >>> >>> Além disso, (2n+1)*a(2n+1) < (2n+1)*a(2n) = 2n*a(2n) + a(2n) < eps/2 + >>> eps/2 = eps ==> >>> a subsequência (2n+1)*a(2n+1) -> 0. >>> >>> Logo n*a(n) -> 0. >>> >>> Um contra-exemplo pra recíproca é a(n) = 1/n*log(n). >>> (a(n)) é decrescente e n*a(n) -> 0 mas SOMA a(n) diverge. >>> >>> *** >>> >>> Inicialmente eu pensei em em provar por contradição, supondo que n*a(n) >>> -> a > 0. >>> Nesse caso, existe N tal que n > N ==> n*a(n) > a/2 ==> a(n) > (a/2)/n >>> ==> SOMA a(n) diverge por comparação com a série harmônica. >>> Mas e se lim n*a(n) não existir? >>> >> >> Mas como a_n é decrescente e SOMA a_n converge, lim n a_n existe! >> >> Para todo n >> >> n a_n = (a_1 + ... + a_n) - ((a_1 _ a_n) ... + (a_n - a_n)) >> >> No 1o parênteses, temos a seq. das somas parciais de a_n que, por >> hipótese, converge. No segundo, temos uma seq. crescente e dominada pela do >> 1o, que, sendo convergente, é limitada. Logo a 2a seq é crescente e >> limitada, sendo portanto convergente. >> >> Sendo n a_n a diferença de 2 seqs. convergentes, lim n a_n existe. E, >> como vc mostrou, tem então que ser 0. >> >> Artur >> >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> >>> On Mon, Aug 27, 2018 at 4:44 PM Artur Steiner < >>> [email protected]> wrote: >>> >>>> Mostre que, se a_n é uma sequência monótona de reais tal que Soma a_n >>>> converge, então lim n a_n = 0. A recíproca não é verdadeira. >>>> >>>> Basta supor que a_n é decrescente. >>>> >>>> Dedte limite decorre a que talvez seja a mais simples prova de que a >>>> série harmônica diverge. (Desde que na prova do limite já não se use a >>>> divergência da série harmônica.) >>>> >>>> Artur Costa Steiner >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
