Artur Costa Steiner Em seg, 27 de ago de 2018 23:44, Claudio Buffara <[email protected]> escreveu:
> Seja (a(n)) monótona decrescente e tal que SOMA a(n) converge. > > Seja eps > 0. > Como SOMA a(n) converge, existe N tal que: > (i) n > N ==> a(2n) < eps/2 > e > (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4. > > Como (a(n)) é decrescente, n*a(2n) < a(n+1) + ... + a(2n) < eps/4 ==> > (2n)*a(2n) < eps/2 < eps > Ou seja, a subsequência (2n)*a(2n) -> 0. > > Além disso, (2n+1)*a(2n+1) < (2n+1)*a(2n) = 2n*a(2n) + a(2n) < eps/2 + > eps/2 = eps ==> > a subsequência (2n+1)*a(2n+1) -> 0. > > Logo n*a(n) -> 0. > > Um contra-exemplo pra recíproca é a(n) = 1/n*log(n). > (a(n)) é decrescente e n*a(n) -> 0 mas SOMA a(n) diverge. > > *** > > Inicialmente eu pensei em em provar por contradição, supondo que n*a(n) -> > a > 0. > Nesse caso, existe N tal que n > N ==> n*a(n) > a/2 ==> a(n) > (a/2)/n ==> > SOMA a(n) diverge por comparação com a série harmônica. > Mas e se lim n*a(n) não existir? > Mas como a_n é decrescente e SOMA a_n converge, lim n a_n existe! Para todo n n a_n = (a_1 + ... + a_n) - ((a_1 _ a_n) ... + (a_n - a_n)) No 1o parênteses, temos a seq. das somas parciais de a_n que, por hipótese, converge. No segundo, temos uma seq. crescente e dominada pela do 1o, que, sendo convergente, é limitada. Logo a 2a seq é crescente e limitada, sendo portanto convergente. Sendo n a_n a diferença de 2 seqs. convergentes, lim n a_n existe. E, como vc mostrou, tem então que ser 0. Artur > > []s, > Claudio. > > > > On Mon, Aug 27, 2018 at 4:44 PM Artur Steiner < > [email protected]> wrote: > >> Mostre que, se a_n é uma sequência monótona de reais tal que Soma a_n >> converge, então lim n a_n = 0. A recíproca não é verdadeira. >> >> Basta supor que a_n é decrescente. >> >> Dedte limite decorre a que talvez seja a mais simples prova de que a >> série harmônica diverge. (Desde que na prova do limite já não se use a >> divergência da série harmônica.) >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
