Boa tarde! Cláudio, perdi um tempão tentando entender: (i) n > N ==> a(2n) < eps/2 e (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4.
Desisti e segui em frente. Pelo que vi em seguida, pensei não seria, como abaixo? (i) Soma(i=1 a 2n) aN+i < eps/2 (ii) Soma (i=1 a n) aN+n+i < eps/4 depois tomar bj= aN+j Saudações, PJMS Em ter, 28 de ago de 2018 às 07:29, Artur Steiner < [email protected]> escreveu: > > > Artur Costa Steiner > > Em seg, 27 de ago de 2018 23:44, Claudio Buffara < > [email protected]> escreveu: > >> Seja (a(n)) monótona decrescente e tal que SOMA a(n) converge. >> >> Seja eps > 0. >> Como SOMA a(n) converge, existe N tal que: >> (i) n > N ==> a(2n) < eps/2 >> e >> (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4. >> >> Como (a(n)) é decrescente, n*a(2n) < a(n+1) + ... + a(2n) < eps/4 ==> >> (2n)*a(2n) < eps/2 < eps >> Ou seja, a subsequência (2n)*a(2n) -> 0. >> >> Além disso, (2n+1)*a(2n+1) < (2n+1)*a(2n) = 2n*a(2n) + a(2n) < eps/2 + >> eps/2 = eps ==> >> a subsequência (2n+1)*a(2n+1) -> 0. >> >> Logo n*a(n) -> 0. >> >> Um contra-exemplo pra recíproca é a(n) = 1/n*log(n). >> (a(n)) é decrescente e n*a(n) -> 0 mas SOMA a(n) diverge. >> >> *** >> >> Inicialmente eu pensei em em provar por contradição, supondo que n*a(n) >> -> a > 0. >> Nesse caso, existe N tal que n > N ==> n*a(n) > a/2 ==> a(n) > (a/2)/n >> ==> SOMA a(n) diverge por comparação com a série harmônica. >> Mas e se lim n*a(n) não existir? >> > > Mas como a_n é decrescente e SOMA a_n converge, lim n a_n existe! > > Para todo n > > n a_n = (a_1 + ... + a_n) - ((a_1 _ a_n) ... + (a_n - a_n)) > > No 1o parênteses, temos a seq. das somas parciais de a_n que, por > hipótese, converge. No segundo, temos uma seq. crescente e dominada pela do > 1o, que, sendo convergente, é limitada. Logo a 2a seq é crescente e > limitada, sendo portanto convergente. > > Sendo n a_n a diferença de 2 seqs. convergentes, lim n a_n existe. E, > como vc mostrou, tem então que ser 0. > > Artur > >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> On Mon, Aug 27, 2018 at 4:44 PM Artur Steiner < >> [email protected]> wrote: >> >>> Mostre que, se a_n é uma sequência monótona de reais tal que Soma a_n >>> converge, então lim n a_n = 0. A recíproca não é verdadeira. >>> >>> Basta supor que a_n é decrescente. >>> >>> Dedte limite decorre a que talvez seja a mais simples prova de que a >>> série harmônica diverge. (Desde que na prova do limite já não se use a >>> divergência da série harmônica.) >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
