At 13:59 01/11/02 -0300, you wrote:
Ola gente!!Sera que o Luciano Castro poderia mostrar a sua solu�ao?Como ele entende bem de projetiva,a solu�ao deve ser legal.Oi, pessoal,
Eu mostrei minha solu��o na segunda-feira passada, em nossa j� tradicional aula de prepara��o no IMPA. Estavam presentes 3 alunos, se n�o me engano: Flavia Correia, Alex Abreu e Fabio Moreira.
Como o Nicolau j� disse, minha solu��o � bem complicada. Eu espero coment�-la na semana Ol�mpica.
� dif�cil escrever a solu��o em formato e-mail. Vou dar os passos principais:
1) Dualizamos tudo (por raz�es psicol�gicas). Temos ent�o duas c�nicas n�o degeneradas tangentes a 4 retas fixas. Queremos provar que os oito pontos de tang�ncia pertencem a uma c�nica.
2) Considere os 4 pontos de tang�ncia de uma das c�nicas. Utilizando muitas vezes as propriedades de reta polar, provamos que o triangulo diagonal do quadril�tero formado por esses 4 pontos est� determinado pelas 4 retas tangentes. (o triangulo diagonal do quadrilatero ABCD � formado pelos pontos AB.CD , AC.BD , AD.BC).
3) Agora basta provar que se dois quadril�teros possuem o mesmo tri�ngulo diagonal, seus 8 v�rtices pertencem a uma c�nica. Para isso, consideramos a c�nica determinada por um quadril�tero e um v�rtice do outro quadril�tero e usamos a defini��o projetiva de conjugado harmonico junto com a seguinte propriedade da reta polar: se uma reta passa pelo ponto P e corta uma c�nica nos pontos A e B, e corta a polar de P em rela��o a essa conica no ponto Q, ent�o P e Q dividem harmonicamente o segmento AB.
H� muitos detalhes a completar, mas espero que voc�s consigam faz�-lo. Leiam o artigo sobre Geometria Projetiva da Eureka 8. As propriedades necess�rias est�o todas l�.
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