Aproveitando, gostaria conferisse para mim essa solucao:
Por inducao, para matriz n-1 x n-1, simetrica, com 0<a(j,j)<=1, e som(i=1
ate i=n-1)|a(i,j)| < 2a(j,j)
(se s� se Sj = som(i=1 ate i=n-1, i!=j)|a(i,j)| < a(j,j) ),
temos que 0<det(A)<=1.(caso n-1=1 � obvio).
seja agora a matriz A n x n.
Por Chio aplicado em a(1,1), temos detA=a(1,1)xdet B (n-1 x n-1), sendo
b(i,j)= a(i+1,j+1) - a(1,j+1)*a(1,i+1).
na primeira linha de B temos:
b(1,1)=a(2,2)-a(1,2)^2, como 0<=|a(1,2)|<S2<a(2,2)<1 implica 1>=b(1,1)>0.
temos que som(i=2 ate i=n-1)|b(i,1)| <= som(i=3 ate i=n-1)|a(i,2)| +
|a(1,2)| * som(i=3 ate i=n-1)|a(i,1)| <
a(2,2) - |a(1,2)| +|a(1,2)|*( a(1,1) - |a(1,2)| ) = a(2,2) - a(1,2)^2 -
|a(1,2)|( 1-a(1,1) )<=a(2,2) - a(1,2)^2=b(1,1).
Temos o resultado analogo em todas linhas.
Como b(i,j)=b(j,i), entao B satisfaz a hipostese de inducao, logo 0<det B<=1
logo 0<detA=detB*a(1,1)<=a(1,1)<=1. CQD.
Falow,
Carlos
)----- Original Message -----
From: "Humberto Naves" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, October 23, 2002 6:30 PM
Subject: Re: [obm-l] OBM-u
> Oi Shine,
>
> Eu fiz o problema 2 assim: Como a matriz A � sim�trica, ela �
diagonaliz�vel,
> logo det A � o produto dos auto-valores de A.
> Primeiramente vamos provar que todos os auto-valores s�o positivos.
Suponha,
> por absurdo que um auto-valor "v" seja negativo. Pegue um vetor V n�o
nulo, tal
> que: A*V = m * V; V = [v1 v2 v3 ... vn](T) , onde (T) significa
transposto.
> Seja vi tal que |vi| = max {|v1|, |v2|, ..., |vn|}. Como m * vi =
Somat�rio com
> j variando de 1 at� n de aij*vj <=> (m - 1) * vi = Somatorio com j <> i de
aij
> * vj e como |vj| <= |vi| para todo j e Somatorio de |aij| com j <> i �
menor
> que 1, temos que |(m - 1) * vi| > |Somatorio com j <> i de aij * vj|, um
> absurdo
> pois m < 0.
> Como a soma dos auto-valores (contando as multiplicidades) � o tra�o da
> matriz A que � n, e todos os auto-valores sao positivos, pela desigualdade
das
> m�dias, o produto dos auto-valores � menor ou igual a 1, ou seja:
> 0 < det A <= 1.
>
> J� o problema 6, eu tentei resolver por �lgebra, mas n�o consegui, e
pensei
> que a solu��o oficial seria por projetiva.
>
> Falow, Humberto
> --- Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Ol� amigos da
lista!!
> >
> > Bom, l� v�o minhas impress�es sobre a OBM-u 2002...
> >
> > Eu gostei bastante da prova! Os dois dias estavam bem
> > legais, embora no primeiro dia eu tenha achado o
> > problema 3 mais f�cil que o 2.
> >
> > Na verdade, tanto o problema 1 como o 3 s�o bastante
> > adequados para alunos que est�o no n�vel 3 (eu, em
> > particular, gostei bastante do problema 3). Encorajo
> > esses alunos a pensar neles. O 4 (segundo dia) tamb�m
> > � adequado.
> >
> > O segundo dia tinha problemas bem interessantes
> > tamb�m. No 5, eu resolvi com a defini��o a_n =
> > \prod_{j=0}^{k(n)} ln_j(n). Mas infelizmente eu cometi
> > um errinho no final (s� vi isso hoje!) com uma
> > estimativa... Faltou mostrar (?) que e(k)/e(k-1) >
> > \epsilon*e(k), onde e(k) = e^(e^(e^...^e))), onde
> > aparecem k e's.
> >
> > O 4 eu demorei bastante para fazer pois n�o vi a
> > substitui��o trigonom�trica de cara... depois de
> > encontrar um polin�mio de grau 8, achar duas de suas
> > ra�zes e obter um polin�mio de grau 6, demorei
> > bastante. Tanto � que na minha prova est� escrito em
> > algum lugar "vou fatorar esse polin�mio de qualquer
> > jeito!" :) Mas fatorei em dois polin�mios de grau 3 e
> > finalmente resolvi com a substitui��o trigonom�trica.
> >
> > Bom, ainda vou pensar nos problemas 2 e 6. Eu tive
> > umas id�ias neles que parecem que v�o para a frente.
> >
> > []'s
> > Shine
> >
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