Oi Humberto e demais amigos da lista!!
Tudo bem?
Puxa, eu tive a id�ia de considerar o produto dos
auto-valores tamb�m, mas como demorei muito no caso
n=3 (pensei demais nos casos pequenos...), acabei n�o
tendo tempo para finalizar a id�ia... eu pensei na
exist�ncia de um auto-vetor positivo, mas acabei n�o
conseguindo nem ter tempo para pensar nessa parte do
problema.
No 6 eu projetei uma das elipses numa curcunfer�ncia.
Mas o que n�o sabia era que dava para fazer uma
transforma��o de modo que as elipses virem uma
circunfer�ncia e uma elipse cuja reta suporte de um
eixo passa pelo centro da circunfer�ncia. A� ficava
mais f�cil. Mas, pelo que soube, existe uma solu��o
projetiva (n� Luciano? ;) ).
[]'s
Shine
--- Humberto Naves <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Oi Shine,
>
> Eu fiz o problema 2 assim: Como a matriz A �
sim�trica, ela � diagonaliz�vel, logo det A � o
produto dos auto-valores de A.
> Primeiramente vamos provar que todos os
auto-valores s�o positivos. Suponha, por absurdo que
um auto-valor "v" seja negativo. Pegue um vetor V n�o
nulo, tal que: A*V = m * V; V = [v1 v2 v3 ... vn](T) ,
onde (T) significa transposto. Seja vi tal que |vi| =
max {|v1|, |v2|, ..., |vn|}.
> Como m * vi = Somat�rio com j variando de 1 at� n de
aij*vj <=> (m - 1) * vi = Somatorio com j <> i de aij
* vj e como |vj| <= |vi| para todo j e Somatorio de
|aij| com j <> i � menor que 1, temos que |(m - 1) *
vi| > |Somatorio com j <> i de aij * vj|, um absurdo
pois m < 0.
> Como a soma dos auto-valores (contando as
multiplicidades) � o tra�o da matriz A que � n, e
todos os auto-valores sao positivos, pela desigualdade
das m�dias, o produto dos auto-valores � menor ou
igual a 1, ou seja:
> 0 < det A <= 1.
> J� o problema 6, eu tentei resolver por �lgebra,
mas n�o consegui, e pensei que a solu��o oficial seria
por projetiva.
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