Acho que precisa de uma justificativa um pouco mais completa. Digamos que P tenha grau n. No caso de raízes simples, Rolle implica que existirá pelo menos uma raiz real de P' entre cada par de raízes (reais por hipótese) consecutivas de P. Como existem n-1 tais pares, P' terá pelo menos n-1 raízes reais e, como grau(P') = n-1, P' terá exatamente n-1 raízes reais.
Se P tiver raízes múltiplas, cada raiz k-upla de P (k > 1) corresponderá a uma raiz (k-1)-upla de P'. Se a < b são raízes (reais) consecutivas (simples ou não) de P, então Rolle implica que existirá pelo menos uma raiz de P' entre a e b. Assim, se P tiver r raízes reais distintas, de multiplicidades k_1, k_2, ..., k_r (com k_1 + k_2 + ... + k_r = grau(P) = n), então P' terá: (k_1 - 1) + (k_2 - 1) + (k_r - 1) = n - r raízes reais oriundas das raízes (reais) múltiplas de P e pelo menos r - 1 raízes reais cuja existência decorre do teorema de Rolle. Logo, P' terá pelo menos (n - r) + (r - 1) = n - 1 raízes reais. Como P' tem grau n-1, estas serão todas as raízes de P'. []s, Claudio. 2018-07-04 23:37 GMT-03:00 Matheus Secco <[email protected]>: > Se o polinômio tiver apenas raízes simples, isto é consequência do Teorema > de Rolle. > > Caso haja alguma raiz com multiplicidade k, pelo menos 2, basta usar que a > raiz anula também as derivadas de ordem até k - 1. > > Abraços, > > Matheus Secco > > On Wed, Jul 4, 2018 at 11:27 PM Artur Steiner < > [email protected]> wrote: > >> Acho um tanto surpreendente que este fato não pareça ser muito conhecido: >> >> Se todas as raízes de um polinômio P de grau >= 2 forem reais, então >> todas as raízes de P' também são. >> >> Isso vale inclusive para polinômios complexos. Mas basta provar para >> polinômios com coeficientes reais. >> >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
