Eu acho que o enunciado pede a soma dos elementos simplesmente porque é uma
questão de múltipla escolha.
Já vi isso antes.
E perguntei a proveniência porque me parece muito difícil para ser uma
questão de vestibular. Talvez do ITA ou da OBM (1a fase)...
***
Sobre as soluções, acho interessante que certos "preconceitos" nos levam a
caminhos totalmente distintos.
Por exemplo, ao ver aquela expressão horrorosa, com X, X5 e X5^5, a
primeira coisa que me ocorreu foi resolver numericamente, com uma planilha.
Daí me pareceu natural procurar uma cota inferior e uma cota superior pra
X, já que a planilha é finita...
Foi aí que me ocorreu a ideia de mudar a notação pra N e R, que facilitou
muito a obtenção das cotas.
Tendo obtido a solução numericamente e redigido a mensagem, dei o caso por
encerrado.
Simplesmente não me ocorreu a ideia de manipular algebricamente o N e o R
pra chegar numa expressão mais reveladora, que foi o caminho que o Bernardo
seguiu, e conseguiu resolver o problema sem planilha.
Enfim, acho interessantíssimo este tema de como surgem as idéias na
matemática, mesmo num problema elementar (mas não trivial) como esse.
***
Com relação à observação do Pedro José, me parece que existe uma diferença
entre o "conjunto solução" e "as raízes" de uma equação.
Como, em se tratando de conjuntos, {1} = {1,1,1}, eu diria que, em relação
à equação x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0, por exemplo,
o conjunto solução é {1} (igual a {1,1,1}) e a soma das raízes é 3.
Ou seja, esta equação tem 3 raízes (iguais) e um conjunto solução unitário.
Sobre retas coincidentes serem paralelas, acho que esta convenção permite
que paralelismo seja uma relação de equivalência.
E ser expulso por causa disso...ou o professor era um idiota ou, num ímpeto
de adolescente, você usou um linguajar forte demais pra defender sua
posição...
Tem uma passagem no Curso de Análise, do Elon, da qual eu nunca me esqueci:
"No caso de conjuntos, escrever A = B significa que A e B são o mesmo
conjunto, ou seja, que A e B possuem os mesmos elementos." Em outras
palavras, A e B são nomes diferentes para a mesma entidade.
[]s,
Claudio.
2018-06-02 18:08 GMT-03:00 Pedro José <[email protected]>:
> Boa noite!
> O que também achei legal nesse problema foi o fato do questionamento ser
> quanto a soma dos elementos do conjunto solução. Embora bem sutil,
> filosoficamente falando é forte. Pois, ela descarta a interpretação de n
> raízes iguais ao invés de uma raiz de multiplicidade n.
> Todas demonstrações de que algo era único, suponha-se que havia dois e se
> provava, por absudo, que eram iguais. Então se são iguais é único.
> Fui expulso de sala de aula, uma feita, no científico, pois, argumentei
> com o professor que não estava correto o conceito de posição relativa de
> duas retas, chamando-as de duas retas paralelas coincidentes. É uma reta só
> e ela é paralela a ela mesma. Nesse exercício a raiz um tem multiplicidade
> 2, e 0 tem multiplicidade 6, mas não interfere na soma. As demais raízes
> têm multiplicidade 1.
> Para os que seguem que a soma das raízes de um polinômios é
> -An-1/An ao invés de o somatório do produto das raízes pela sua
> multiplicidade, daria 1301, o que, considero incorreto.
> Desculpem-me pela lamúria, mas até hoje não me conformo com n entidades
> iguais com n >1. Talvez a expulsão tenha gerado um trauma.
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em Sáb, 2 de jun de 2018 17:29, Claudio Buffara <[email protected]>
> escreveu:
>
>> De onde é este problema?
>> 1a fase de alguma olimpíada?
>>
>> Abs
>>
>> Enviado do meu iPhone
>>
>> Em 2 de jun de 2018, à(s) 16:15, Daniel Quevedo <[email protected]>
>> escreveu:
>>
>> Muito obrigado a todos. De fato com a mudança de variável fica td mais
>> fácil. Não tinha visto isso.Â
>> Obrigado
>>
>> Em sáb, 2 de jun de 2018 às 16:02, Pedro José <[email protected]>
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde.
>>> A limitação para X5 obviamente não inclui 5, foi lambança.Â
>>> Saudações,Â
>>> PJMSÂ
>>>
>>> Em Sáb, 2 de jun de 2018 15:22, Claudio Buffara <
>>> [email protected]> escreveu:
>>>
>>>> Para |X| suficientemente grande, X^6 domina a soma dos outros termos.
>>>>
>>>> Mudando a notação, eu pus N = X e R = X5.
>>>>
>>>> Então: R^5*N^5 + R*N = N^6 + R^6.
>>>>
>>>> Caso 1: N >= 0:
>>>> R <= 4, de modo que o lado esquerdo <= N*(1024*N^4 + 4).
>>>> Já o lado direito >= N^6.
>>>> N*(1024*N^4 + 4) < N^6Â
>>>> ==> 1024*N^4 + 4 < N^5Â Â
>>>> ==> 1024 + 4/N^4 < N
>>>> ==> N >= 1025.
>>>> Então, para a equação ser satisfeita, é necessário que N <= 1024.
>>>>
>>>> Caso 2: N < 0.
>>>> Então o lado esquerdo <= 0 (com igualdade sss R = 0) e o lado direito
>>>> é positivo.
>>>> Logo, a equação não tem soluções com N < 0.
>>>>
>>>> Com uma planilha, eu achei apenas 5 soluções:
>>>> 0, 1, 32, 243, 1024.
>>>>
>>>> A soma destes três números é 1300.
>>>>
>>>> []s,
>>>> Claudio.
>>>>
>>>>
>>>> 2018-06-02 14:10 GMT-03:00 Daniel Quevedo <[email protected]>:
>>>>
>>>>> Seja Xn o resto da divisão de X por n. ParavX inteiro a soma de todos
>>>>> os elementos do conjunto solução da equação: [(X5)^5].X^5 - X^6 -
>>>>> (X5)^6 +X.(X5) = 0
>>>>> É igual a:
>>>>> A) 1100
>>>>> B) 1300
>>>>> C) 1500
>>>>> D) 1700
>>>>> E) 1900
>>>>>
>>>>> R: b
>>>>> --
>>>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
