Não sei se fica claro ou é adequado:
Num intervalo de dez dezenas: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 Cortam-se o 2 o 5 e o 10: 1 x [2] x 3 x 4 x [5] x 6 x 7 x 8 x 9 x [10] Fica: 1 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 Se for incluir a segunda sequencia de dezenas: 11 x [12] x 13 x 14 x [15] x 16 x 17 x 18 x 19 x [20] Fica: 11 x 13 x 14 x 16 x 17 x 18 x 19 Sempre retirar os números côngruos a 2, 5, e 0 módulo 10. Agora pensando em módulo 10: * números multiplicados por algum côngruo a 1 módulo 10 não mudam final. Elimina-se: 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 * números côngruos a 3 e 4 multiplicados resultam côngruo a 2 módulo 10 * números côngruos a 6 e 7 multiplicados resultam côngruo a 2 módulo 10 * números côngruos a 8 e 9 multiplicados resultam côngruo a 2 módulo 10 finalmente três números côngruos a 2 módulo 10 multiplicados resultam côngruo a 8 módulo 10. Em Tue, 27 May 2014 14:03:39 -0300 Pedro José <[email protected]> escreveu: > Boa tarde! > > Não fiz o problema todo, devemos levar em conta do jeito que você > fez, o 1 (nem tanto pois é elemento neutro da multiplicação), que > sobra do 10 o 2 que sobra do 20, o 3, 4 e 5. > > Já tinha feito até o produto31*32*...*38*39. > Fazendo o do > 41*42*...*48*49 > Temos 45* 42 tem 9 como último algarismo não nulo. > Portanto sobram 9*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 2 mod10 > > então temos 8 (referente aà 1*2*...*8*9), 4 (referente à > 11*12*...!**19), 4 (ref ...), 6 e 2. > Restam os últimos algarismos não nulos das dezenas. 1, 2, 3, 4, 5. > Aqui temos que tirar 2 e 5 cujo produto é 10. > > então no total 1*3*4*8*4*4*6*2 ≡ 2 mod10 > > Só que resolvi de outra maneira. > > Apenas havia apontado onde era seu equívoco. > > > A reposta é dois e não seis. > > Saudações, > PJMS. > > > > > > > Em 27 de maio de 2014 13:31, saulo nilson <[email protected]> > escreveu: > > > porque nao contou com os multiplos de 10, se tem o segundo > > algarismo que influencia no digito nao nulo. > > 10*20*30*40*50=120*10^5=ultimo digito 2 nao nulo. > > > > > > 2014-05-27 11:03 GMT-03:00 Pedro José <[email protected]>: > > > > Bom dia! > >> > >> Saulo, > >> > >> Na verdade você tem que retitar todos os fatores 10, ou seja > >> dividir 50! por 10^m, onde 10^m || 50! ( || significa divide > >> exatamente, não restará nenhum fator 10 após a divisão) > >> Para 50!, m vale 12. > >> Observe que não é tão períodico assim. > >> Quando você faz a primeira parte, isso é os fatores Ɛ [1,9] ᴒ |N. > >> Só há um fator 10, 5 x2, portanto vai gerar: como último algarismo > >> 8. Está correto. > >> Porém, quando considermaos os fatores Ɛ [11,19] ᴒ |N. > >> Teremos 15 x 12 =180 tirando o fator 10, resta 8 como último > >> algarismo. e ainda temos os demais fatores que nunca gerarão um > >> produto ≡ 0 mod10. Portanto basta multiplicar os últimos dígitos > >> que sobraram e o 8 obtido, ou seja 8*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 4 mod10 > >> Considerando os fatores Ɛ [21,29] ᴒ |N. > >> Teremos apenas 25x24=600, e vai gerar 6 como último algarismo. > >> Utilizando 6 e os demais fatores,que nunca gerarão um produto ≡ 0 > >> mod10. Portanto basta multiplicar os últimos dígitos que sobraram > >> e o 6 obtido, ou seja 6*1*2*3*6*7*8*9 ≡ 4 mod10 > >> Para os fatores Ɛ [31,39] ᴒ |N. Teríamos 35*2 =70, portanto 7. > >> E os restantes como já explicado, 7*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 6 mod10 > >> > >> Ou seja, a suposição que o último algarismo não nulo de cada > >> produto abaixo é constante (que o levou a 8^5), está errada. > >> > >> 1*2*3*4*5*6*7*8*9 > >> 11*12*13*14*15*16*17*18*19 > >> 21*22*23*24*25*26*27*28*29 > >> ..... > >> 41*41*43*44*45*46*47*48*49* > >> > >> A resposta correta é > >> > >> *dois.* > >> Saudações, > >> PJMS > >> > >> > >> > >> Em 26 de maio de 2014 15:35, saulo nilson > >> <[email protected]>escreveu: > >> > >> 1*2*3*4*5=20 > >>> 6*7*8*9=54 > >>> 4*2=8 > >>> como aparece 5 vezes essa sequencia de multiplicaçoes > >>> 8^5=8 > >>> 10*20*30*40*50=20 > >>> 20*8=160==> ultimo digito 6 > >>> > >>> > >>> 2014-05-25 19:09 GMT-03:00 <[email protected]>: > >>> > >>> Obrigado pela ajuda. Foi de muita valia. Abraços. > >>>> > >>>> > >>>> > >>>> > >>>> Em 20/05/2014 12:16, terence thirteen escreveu: > >>>> > >>>> UMA coisa: um problema de uma olimpíada russa era demonstrar que > >>>> este último dígito não forma uma sequência periódica. > >>>> > >>>> > >>>> Em 20 de maio de 2014 12:16, terence thirteen > >>>> <[email protected] > >>>> > escreveu: > >>>> > >>>>> Bem, leva um certo tempo para entender a ideia. Mas realmente > >>>>> não é complicado. O que você quer é simplesmente calcular este > >>>>> produto, mas sem levar em conta os dois e cincos nele. > >>>>> > >>>>> Indo devagar: imagina que você já fez essa conta (ou mandou o > >>>>> GNU bc ou o GNU Pari fazer por você), e depois fatorou essa > >>>>> bagaça. Se você for ver, o total de zeros deste numerão aí são > >>>>> todos provenientes dos fatores 2 e 5 da fatoração de 50!. > >>>>> > >>>>> Então, fazemos assim: > >>>>> > >>>>> Fatoramos, e separamos os fatores 2 e 5; > >>>>> Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar > >>>>> a maior potência de 10 possível. Depois, descartamos essa > >>>>> potência sem dó! Os fatores ímpares que ficaram, multiplicamos > >>>>> seus últimos dígitos A potência de 2 que sobrou, > >>>>> > >>>>> Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar > >>>>> a maior potência de 10 possível. Depois, descartamos essa > >>>>> potência sem dó! > >>>>> > >>>>> Daí, os fatores 2 que sobrarem, multiplicamos! > >>>>> > >>>>> Vou fazer pro 20 pra tu ter uma ideia: > >>>>> > >>>>> 01*02*03*04*05 = 8*5 * 3 > >>>>> 06*07*08*09*10 = 32*5 * 189 > >>>>> 11*12*13*14*15 = 8*5 * 9009 > >>>>> 16*17*18*19*20 = 128*5 * 2907 > >>>>> > >>>>> Daí fica mais fácil... > >>>>> > >>>>> > >>>>> > >>>>> > >>>>> Em 19 de maio de 2014 12:42, <[email protected]>escreveu: > >>>>> > >>>>> Determinar o último algarismo não nulo de > >>>>> P=1x2x3x4x5...x48x49x50. > >>>>>> Eu gostaria de saber se podemos descobrir isso sem fazer > >>>>>> multiplicações para cada grupo de dez números > >>>>>> ( 1x2x3x...x10=...800; 11x12x13...x20=...800..0; > >>>>>> 21x22x23...x30=...200...0). Se é um exercício de olimpíada > >>>>>> nível dois, fase final, acho que não deve ser feito fazendo-se > >>>>>> cálculos laboriosos, ou seja, deve ter um jeito fácil. > >>>>>> Agradeço antecipadamente quem resolver de um modo melhor que o > >>>>>> exposto acima. Abraços. RS. > >>>>>> > >>>>>> -- > >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. > >>>>>> > >>>>> > >>>>> > >>>>> > >>>>> -- > >>>>> /**************************************/ > >>>>> 神が祝福 > >>>>> > >>>>> Torres > >>>>> > >>>> > >>>> > >>>> > >>>> -- > >>>> /**************************************/ > >>>> 神が祝福 > >>>> > >>>> Torres > >>>> > >>>> -- > >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e > >>>> acredita-se estar livre de perigo. > >>>> > >>>> > >>>> -- > >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>>> acredita-se estar livre de perigo. > >>>> > >>> > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >>> > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
