Boa tarde! Não fiz o problema todo, devemos levar em conta do jeito que você fez, o 1 (nem tanto pois é elemento neutro da multiplicação), que sobra do 10 o 2 que sobra do 20, o 3, 4 e 5.
Já tinha feito até o produto31*32*...*38*39. Fazendo o do 41*42*...*48*49 Temos 45* 42 tem 9 como último algarismo não nulo. Portanto sobram 9*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 2 mod10 então temos 8 (referente aà 1*2*...*8*9), 4 (referente à 11*12*...!**19), 4 (ref ...), 6 e 2. Restam os últimos algarismos não nulos das dezenas. 1, 2, 3, 4, 5. Aqui temos que tirar 2 e 5 cujo produto é 10. então no total 1*3*4*8*4*4*6*2 ≡ 2 mod10 Só que resolvi de outra maneira. Apenas havia apontado onde era seu equívoco. A reposta é dois e não seis. Saudações, PJMS. Em 27 de maio de 2014 13:31, saulo nilson <[email protected]> escreveu: > porque nao contou com os multiplos de 10, se tem o segundo algarismo que > influencia no digito nao nulo. > 10*20*30*40*50=120*10^5=ultimo digito 2 nao nulo. > > > 2014-05-27 11:03 GMT-03:00 Pedro José <[email protected]>: > > Bom dia! >> >> Saulo, >> >> Na verdade você tem que retitar todos os fatores 10, ou seja dividir 50! >> por 10^m, onde 10^m || 50! ( || significa divide exatamente, não restará >> nenhum fator 10 após a divisão) >> Para 50!, m vale 12. >> Observe que não é tão períodico assim. >> Quando você faz a primeira parte, isso é os fatores Ɛ [1,9] ᴒ |N. >> Só há um fator 10, 5 x2, portanto vai gerar: como último algarismo 8. >> Está correto. >> Porém, quando considermaos os fatores Ɛ [11,19] ᴒ |N. >> Teremos 15 x 12 =180 tirando o fator 10, resta 8 como último algarismo. >> e ainda temos os demais fatores que nunca gerarão um produto ≡ 0 mod10. >> Portanto basta multiplicar os últimos dígitos que sobraram e o 8 obtido, ou >> seja 8*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 4 mod10 >> Considerando os fatores Ɛ [21,29] ᴒ |N. >> Teremos apenas 25x24=600, e vai gerar 6 como último algarismo. >> Utilizando 6 e os demais fatores,que nunca gerarão um produto ≡ 0 mod10. >> Portanto basta multiplicar os últimos dígitos que sobraram e o 6 obtido, ou >> seja 6*1*2*3*6*7*8*9 ≡ 4 mod10 >> Para os fatores Ɛ [31,39] ᴒ |N. Teríamos 35*2 =70, portanto 7. >> E os restantes como já explicado, 7*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 6 mod10 >> >> Ou seja, a suposição que o último algarismo não nulo de cada produto >> abaixo é constante (que o levou a 8^5), está errada. >> >> 1*2*3*4*5*6*7*8*9 >> 11*12*13*14*15*16*17*18*19 >> 21*22*23*24*25*26*27*28*29 >> ..... >> 41*41*43*44*45*46*47*48*49* >> >> A resposta correta é >> >> *dois.* >> Saudações, >> PJMS >> >> >> >> Em 26 de maio de 2014 15:35, saulo nilson <[email protected]>escreveu: >> >> 1*2*3*4*5=20 >>> 6*7*8*9=54 >>> 4*2=8 >>> como aparece 5 vezes essa sequencia de multiplicaçoes >>> 8^5=8 >>> 10*20*30*40*50=20 >>> 20*8=160==> ultimo digito 6 >>> >>> >>> 2014-05-25 19:09 GMT-03:00 <[email protected]>: >>> >>> Obrigado pela ajuda. Foi de muita valia. Abraços. >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> Em 20/05/2014 12:16, terence thirteen escreveu: >>>> >>>> UMA coisa: um problema de uma olimpíada russa era demonstrar que este >>>> último dígito não forma uma sequência periódica. >>>> >>>> >>>> Em 20 de maio de 2014 12:16, terence thirteen <[email protected] >>>> > escreveu: >>>> >>>>> Bem, leva um certo tempo para entender a ideia. Mas realmente não é >>>>> complicado. O que você quer é simplesmente calcular este produto, mas sem >>>>> levar em conta os dois e cincos nele. >>>>> >>>>> Indo devagar: imagina que você já fez essa conta (ou mandou o GNU bc >>>>> ou o GNU Pari fazer por você), e depois fatorou essa bagaça. Se você for >>>>> ver, o total de zeros deste numerão aí são todos provenientes dos fatores >>>>> 2 >>>>> e 5 da fatoração de 50!. >>>>> >>>>> Então, fazemos assim: >>>>> >>>>> Fatoramos, e separamos os fatores 2 e 5; >>>>> Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar a maior >>>>> potência de 10 possível. Depois, descartamos essa potência sem dó! >>>>> Os fatores ímpares que ficaram, multiplicamos seus últimos dígitos >>>>> A potência de 2 que sobrou, >>>>> >>>>> Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar a maior >>>>> potência de 10 possível. Depois, descartamos essa potência sem dó! >>>>> >>>>> Daí, os fatores 2 que sobrarem, multiplicamos! >>>>> >>>>> Vou fazer pro 20 pra tu ter uma ideia: >>>>> >>>>> 01*02*03*04*05 = 8*5 * 3 >>>>> 06*07*08*09*10 = 32*5 * 189 >>>>> 11*12*13*14*15 = 8*5 * 9009 >>>>> 16*17*18*19*20 = 128*5 * 2907 >>>>> >>>>> Daí fica mais fácil... >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> Em 19 de maio de 2014 12:42, <[email protected]>escreveu: >>>>> >>>>> Determinar o último algarismo não nulo de P=1x2x3x4x5...x48x49x50. >>>>>> Eu gostaria de saber se podemos descobrir isso sem fazer multiplicações >>>>>> para cada grupo de dez números ( 1x2x3x...x10=...800; >>>>>> 11x12x13...x20=...800..0; 21x22x23...x30=...200...0). Se é um exercício >>>>>> de >>>>>> olimpíada nível dois, fase final, acho que não deve ser feito fazendo-se >>>>>> cálculos laboriosos, ou seja, deve ter um jeito fácil. Agradeço >>>>>> antecipadamente quem resolver de um modo melhor que o exposto acima. >>>>>> Abraços. RS. >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>> >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> /**************************************/ >>>>> 神が祝福 >>>>> >>>>> Torres >>>>> >>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> /**************************************/ >>>> 神が祝福 >>>> >>>> Torres >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
