Legal. Obrigado Ralph. Eu tinha visto a solução, ele usava Geometria no E³ para resolver. Mas enfim, obrigado!
Grato. Coulbert Date: Fri, 15 Jun 2012 15:10:25 -0300 Subject: Re: [obm-l] MQ>=MA>=MG>=MH From: [email protected] To: [email protected] Você PODE usar essa desigualdade para quaisquer x,y,z positivos. O problema não é na desigualdade, é de lógica. Em outras palavras: você mostrou que SE x,y,z são positivos com x+y+z=5 e xy+xz+yz=3 ENTÃO x<=H (onde H é um número HORROROSO, achei numericamente H~4.565). Isto está corretíssimo! Infelizmente, isto só te dá uma COTA SUPERIOR para x, não necessariamente seu valor máximo! Ou seja, você não pode afirmar que, se x=H, então existem y e z tais que x+y+z=5 e xy+xz+yz=3. Aliás, lembrando que MA=MG apenas quando x=y=z, só haveria um tal par (x,y,z) se fosse x=y=z, ou seja, se 3x=5 e 3x^2=3, o que é impossível. Então: raciocínio correto, leva a uma cota superior, mas não encontra o máximo. Infelizmente, para encontrar o MÁXIMO de x, você vai precisar de algum raciocínio mais rebuscado... Por exemplo, note que x, y e z são as 3 raízes reais de t^3-5t^2+3t-P=0. Tome f(t)=t^3-5t^2+3t. Note que o gráfico de f(t) é uma cúbica do tipo sobe-desce-sobe que tem 3 raízes, uma sendo 0 e as outras duas sendo positivas, digamos, x1 e x2. O que eu preciso é escolher P para que f(t)=P tenha 3 raízes reais positivas. Graficamente, eu preciso arrumar P de forma que a reta y=P corte o gráfico de f(t) em três lugares, sendo o da direita o maior número possível (para que x seja maior possível). Se você fizer o gráfico, vai ver que isto ocorrerá quando tivermos uma raiz dupla e uma simples. Em suma, o que você quer é y=z e x sendo a terceira raiz. Assim: x+2y=52xy+y^2=3 Resolve isto para achar y=z=1/3 e x=13/3, que é a resposta desejada. Note que 13/3=4.333<H=4.565 -- então a cota do H está correta, só não está "justa". Abraço, Ralph 2012/6/15 Felippe Coulbert Balbi <[email protected]> Olá a todos. Eu queria saber condições para podermos usar qualquer uma dessas relações de desigualdades de forma que os termos sejam reais. Por exemplo: x+y+z=5, xy+xz+yz=3 , qual o maior valor de x, para x,y,z E R? yz= 3-x(5-x) Usando MA>= MG temos 5/3 >= (x(3-x(5-x)) )^(1/3) Resolvendo tal equação, chegamos em um número feio... porem, isso é falso ! o maior valor para x,y e z E R, é 13/3 Eu queria saber em que condições tal relação se torna valida. Grato. Coulbert
