A resposta eh "nao", este nao eh o ponto que maximiza o angulo ACB, e
"sim", eh possivel resolver isso com Geometria "Cearense" (muito mais
elegante que G.A.!).
Para derrubar a conjectura, note que se AB for perpendicular aa reta
r, entao o ponto que minimiza o perimetro ACB claramente estah em AB
tambem, mas o angulo ACB eh 0, certamente nao eh um maximo.
Entao, para encontrar o ponto C que maximiza O ANGULO ACB,
geometricamente, pense assim:
-- Esqueca a reta por enquanto, e fixe o angulo x. O lugar geometrico
dos pontos D do plano tais que angulo(ACB)=x eh um arco capaz, que
passa por A e B.
-- Agora, se x for pequeno, o arco capaz eh bem "aberto", chega beeem
longe de A e B, e certamente cruza a reta r. Ou seja, se x eh pequeno,
na intersecao do arco capaz com r voce encontra um ponto D tal que
angulo(ADB)=x.
-- Por outro lado, aa medida que voce aumenta x, o arco capaz vai
"diminuindo", e, no caso extremo em que x=180 graus, o arco capaz vira
o segmento AB, que nao corta a reta r.
-- Qual o maior x que faz o arco capaz cortar a reta r? Bom, serah um
arco capaz que eh TANGENTE aa reta r. Entao o que voce precisa fazer
eh encontrar um circulo que passa por A e B e eh tangente aa reta r. O
ponto de tangencia eh o ponto C procurado que maximiza o angulo ACB.
-- Construcao geometrica: note que, sendo P a intersecao da reta AB
com a reta r, temos PA.PB=PC^2 (usando a potencia do ponto P com
relacao ao circulo "magico" que eh tangente a r passando por A e B).
Entao, para construir C, voce pode estender AB ateh cortar r (e
encontrar P), construir a media geometrica de PA e PB do seu jeito
favorito, e marcar PC na reta r para encontrar C.
-- Uma maneira de achar a media geometrica: supondo que PA>PB, trace o
circulo de diametro PA, trace a perpendicular por B a AB, intersecte
ambos para achar E; note que PE^2=PA.PB, entao PE eh a distancia PC
que voce quer.
Fiz um Geogebrinha com esta construcao, mas acho que a lista nao deixa
passar arquivos GGB. :(
Abraco,
Ralph
2012/5/16 Samuel Wainer <[email protected]>:
> Considere uma reta r num plano. Considere dois pontos fixos A e B fora da
> reta e no no plano, de forma que estes pontos estejam no mesmo semi-plano
> determinado pela reta r.
> Seja C um ponto qualquer da reta, para que a distância do percurso AC CB
> seja mínima devemos refletir o ponto B pela reta r para B' e considerarmos o
> percurso reto AB' e a intersecção de AB' com a reta com r será C .
>
> Agora a questão é que o ângulo ACB será máximo quando o percurso AC CB for
> mínimo? Tem como resolver isso só com geometria sem usar ga?
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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