Você PODE usar essa desigualdade para quaisquer x,y,z positivos. O problema
não é na desigualdade, é de lógica.
Em outras palavras: você mostrou que SE x,y,z são positivos com x+y+z=5 e
xy+xz+yz=3 ENTÃO x<=H (onde H é um número HORROROSO, achei numericamente
H~4.565). Isto está corretíssimo! Infelizmente, isto só te dá uma COTA
SUPERIOR para x, não necessariamente seu valor máximo!
Ou seja, você não pode afirmar que, se x=H, então existem y e z tais que
x+y+z=5 e xy+xz+yz=3. Aliás, lembrando que MA=MG apenas quando x=y=z, só
haveria um tal par (x,y,z) se fosse x=y=z, ou seja, se 3x=5 e 3x^2=3, o que
é impossível.
Então: raciocínio correto, leva a uma cota superior, mas não encontra o
máximo. Infelizmente, para encontrar o MÁXIMO de x, você vai precisar de
algum raciocínio mais rebuscado... Por exemplo, note que x, y e z são as 3
raízes reais de t^3-5t^2+3t-P=0. Tome f(t)=t^3-5t^2+3t. Note que o gráfico
de f(t) é uma cúbica do tipo sobe-desce-sobe que tem 3 raízes, uma sendo 0
e as outras duas sendo positivas, digamos, x1 e x2. O que eu preciso é
escolher P para que f(t)=P tenha 3 raízes reais positivas. Graficamente, eu
preciso arrumar P de forma que a reta y=P corte o gráfico de f(t) em três
lugares, sendo o da direita o maior número possível (para que x seja maior
possível). Se você fizer o gráfico, vai ver que isto ocorrerá quando
tivermos uma raiz dupla e uma simples.
Em suma, o que você quer é y=z e x sendo a terceira raiz. Assim:
x+2y=5
2xy+y^2=3
Resolve isto para achar y=z=1/3 e x=13/3, que é a resposta desejada. Note
que 13/3=4.333<H=4.565 -- então a cota do H está correta, só não está
"justa".
Abraço,
Ralph
2012/6/15 Felippe Coulbert Balbi <[email protected]>
> Olá a todos.
> Eu queria saber condições para podermos usar qualquer uma dessas relações
> de desigualdades de forma que os termos sejam reais. Por exemplo:
>
> x+y+z=5, xy+xz+yz=3 , qual o maior valor de x, para x,y,z E R?
>
> yz= 3-x(5-x)
> Usando MA>= MG temos
>
> 5/3 >= (x(3-x(5-x)) )^(1/3)
>
> Resolvendo tal equação, chegamos em um número feio... porem, isso é falso
> ! o maior valor para x,y e z E R, é 13/3
>
> Eu queria saber em que condições tal relação se torna valida.
>
> Grato.
> Coulbert
>
