Mais ou menos isso? ii) Este conjunto considerado (f(Z)) tem cota inferior igual a 0. Então se eu mostrar que qualquer outro número maior do que zero não pode ser o ínfimo, zero deve ser o ínfimo. Como eu mostrei na mensagem anterior para qualquer A >0, encontro n tal que a^n > A Logo dado x > 0, e supondo que x seja o infimo de f(Z), posso encontrar, a^n > 1/x > 0 isto é, 0 < 1/a^n < x. Logo x não é o ínfimo.
2009/12/23 Julio Cesar <[email protected]> > Isso é verdade. Sua intuição está certa. Mas, o ponto é que vc está > tentando usar resultados de seqüencias válidos em corpos completos > quando vc não precisa disto. Quando vc diz "sabemos que lim a^n = > +infinito" vc tem razão. Mas, vc está criando a placenta e jogando > fora o bebê. Na realidade, o espírito do exercício é provar que lim > a^n = +infinito para n->\infty e que lim a^n = 0 quando n-> -\infty. > Mas, vc não precisa falar em sequências para isto. Basta usar as > definições de conjunto ilimitado superiormente e ínfimo de um > conjunto. > > Definição: Um corpo K é arquimediano se > > (*) para todo x e y > 0 em K, existe n natural tal que nx > y > > equivalentemente (isto se eu não me engano, está provado no livro do Elon) > > (**) para todo x > 0 em K existe n natural não nulo tal que 1/n < x. > > Daí resultado estará provado se > > (i) para todo n natural existir algum elemento de f(Z) maior que n > > (ii) para todo n natural existir algum elemento de f(Z) menor que 1/n > > para provar estas afirmações vc vai precisar da desigualdade > > (e + 1)^n > e.n > > quando e > 0 (perceba que o nosso a é da forma e + 1). > > 2009/12/23 Francisco Barreto <[email protected]>: > > Se eu mostrar que existe inf, a minha justificativa fica válida? Porque > isso > > me parece verdade. A sequência > > (...1/a^n,...,1/a^2, 1/a,1) é limitada inferiormente, e portanto deve > ter > > um ínfimo, já que o conjunto de seus elementos é um subconjunto do > conjunto > > dos números reais. Ou não? > > > > 2009/12/23 Julio Cesar <[email protected]> > >> > >> Bom, Francisco. Estamos falando de um corpo arquimediano K. Para tirar > >> ínfimos de conjutos devemos ter que K é completo. > >> > >> A sua idéia está certa. Mas, o argumento nem tanto. Vc precisa > >> justificar usando a arquimedianeidade (nossa, será que eu escrevi > >> certo?) do corpo. > >> > >> 2009/12/22 Francisco Barreto <[email protected]>: > >> > Quanto ao item 2, pensei no seguinte, > >> > consideremos apenas a restrição de f aos inteiros negativos e o zero, > >> > isto é, > >> > tomemos a subsequencia (...1/a^n,...,1/a^2, 1/a,1) > >> > Qual o limite desta sequencia? Sabemos que lim a^n = +infinito, logo o > >> > lim > >> > 1/a^n = 0 > >> > Falta mostrar que este é o inf desta subsequencia. Seja o a = inf x_n > >> > (infimo desta subsequencia) > >> > Dado e > 0, tem se a+ e > a e portanto a + e não é cota inf, logo > >> > existe um > >> > elemento x_n desta subsequência tal que > >> > a+ e > x_n > a > a -e > >> > logo a é o limite desta subsequencia. > >> > Bem, todos os elementos da sequência maiores que 1 não podem ser inf, > >> > pois > >> > não são cota inferior. > >> > Basta considerar esta subsequência mesmo. > >> > 2009/12/22 Luiz Neto Neto <[email protected]> > >> >> > >> >> Questão de número 26 do assunto número reais curso de análise livro > de > >> >> Elon Larges. > >> >> 26) Seja a>1 num corpo arquimediano K. Considere a função f : Z-->K, > >> >> definida por f(n)=a^n. Prove as seguintes afirmações: > >> >> > >> >> (i) f(Z) não é limitado superiormente; > >> >> (ii) inf f(Z)=0. > >> >> > >> >> (Z conjunto dos números inteiros); > >> >> Gostaria de que alguém me ajudasse a fazer essa questão de > preferência > >> >> a > >> >> (ii)! Agradeço! > >> >> > >> >> ________________________________ > >> >> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - > >> >> Celebridades - Música - Esportes > >> > > >> > >> > >> > >> -- > >> Julio Cesar Conegundes da Silva > >> > >> > ========================================================================= > >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > >> > ========================================================================= > > > > > > > > -- > Julio Cesar Conegundes da Silva > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= >
