Isso é verdade. Sua intuição está certa. Mas, o ponto é que vc está tentando usar resultados de seqüencias válidos em corpos completos quando vc não precisa disto. Quando vc diz "sabemos que lim a^n = +infinito" vc tem razão. Mas, vc está criando a placenta e jogando fora o bebê. Na realidade, o espírito do exercício é provar que lim a^n = +infinito para n->\infty e que lim a^n = 0 quando n-> -\infty. Mas, vc não precisa falar em sequências para isto. Basta usar as definições de conjunto ilimitado superiormente e ínfimo de um conjunto.
Definição: Um corpo K é arquimediano se (*) para todo x e y > 0 em K, existe n natural tal que nx > y equivalentemente (isto se eu não me engano, está provado no livro do Elon) (**) para todo x > 0 em K existe n natural não nulo tal que 1/n < x. Daí resultado estará provado se (i) para todo n natural existir algum elemento de f(Z) maior que n (ii) para todo n natural existir algum elemento de f(Z) menor que 1/n para provar estas afirmações vc vai precisar da desigualdade (e + 1)^n > e.n quando e > 0 (perceba que o nosso a é da forma e + 1). 2009/12/23 Francisco Barreto <[email protected]>: > Se eu mostrar que existe inf, a minha justificativa fica válida? Porque isso > me parece verdade. A sequência > (...1/a^n,...,1/a^2, 1/a,1) é limitada inferiormente, e portanto deve ter > um ínfimo, já que o conjunto de seus elementos é um subconjunto do conjunto > dos números reais. Ou não? > > 2009/12/23 Julio Cesar <[email protected]> >> >> Bom, Francisco. Estamos falando de um corpo arquimediano K. Para tirar >> ínfimos de conjutos devemos ter que K é completo. >> >> A sua idéia está certa. Mas, o argumento nem tanto. Vc precisa >> justificar usando a arquimedianeidade (nossa, será que eu escrevi >> certo?) do corpo. >> >> 2009/12/22 Francisco Barreto <[email protected]>: >> > Quanto ao item 2, pensei no seguinte, >> > consideremos apenas a restrição de f aos inteiros negativos e o zero, >> > isto é, >> > tomemos a subsequencia (...1/a^n,...,1/a^2, 1/a,1) >> > Qual o limite desta sequencia? Sabemos que lim a^n = +infinito, logo o >> > lim >> > 1/a^n = 0 >> > Falta mostrar que este é o inf desta subsequencia. Seja o a = inf x_n >> > (infimo desta subsequencia) >> > Dado e > 0, tem se a+ e > a e portanto a + e não é cota inf, logo >> > existe um >> > elemento x_n desta subsequência tal que >> > a+ e > x_n > a > a -e >> > logo a é o limite desta subsequencia. >> > Bem, todos os elementos da sequência maiores que 1 não podem ser inf, >> > pois >> > não são cota inferior. >> > Basta considerar esta subsequência mesmo. >> > 2009/12/22 Luiz Neto Neto <[email protected]> >> >> >> >> Questão de número 26 do assunto número reais curso de análise livro de >> >> Elon Larges. >> >> 26) Seja a>1 num corpo arquimediano K. Considere a função f : Z-->K, >> >> definida por f(n)=a^n. Prove as seguintes afirmações: >> >> >> >> (i) f(Z) não é limitado superiormente; >> >> (ii) inf f(Z)=0. >> >> >> >> (Z conjunto dos números inteiros); >> >> Gostaria de que alguém me ajudasse a fazer essa questão de preferência >> >> a >> >> (ii)! Agradeço! >> >> >> >> ________________________________ >> >> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - >> >> Celebridades - Música - Esportes >> > >> >> >> >> -- >> Julio Cesar Conegundes da Silva >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > -- Julio Cesar Conegundes da Silva ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
