Olá Ralph e Marcelo, 2009/4/16 Ralph Teixeira <[email protected]>
> O que o Marcelo fez funciona (ele tirou a exponencicao do ln, que fica > entao multiplicando do lado de fora do ln; depois ele se preocupou soh > com o limite dentro de exp, tem que esquecer o exp por um instante -- > esse limite de dentro eh que foi feito por L'Hopital) e eu acho que eh > o jeito mais rapido. Mas, se ainda nao sabemos L'Hopital, temos a > seguinte opcao: vamos fazer os limites laterais trocando variaveis. > > Pela direita, quando x -> 1, vou tomar y=1/(x-1). Note que x -> 1+ > sse y -> +Inf. Assim > lim(x -> 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y -> +Inf) (1+1/y)^(-y) = 1 / lim (y -> > +Inf) (1+1/y)^y=1/e Não sei se estou errado, mas seria lim(x -> 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y -> +Inf) (1+1/y)^(y) e não lim(y -> +Inf) (1+1/y)^(-y), já que y = 1/(1-x). Assim, a resposta seria "e" e não "1/e". Coloquei a fórmula no excel e para x->1, x^[1/(1-x)] tende a "e". > > (imagino que este limite fundamental do denominador tenha sido feito > previamente, talvez ateh como a definicao de e, senao temos que > trabalhar mais) > > Para x -> 1-, vou tomar z=1/(1-x). Note que, de novo, z -> +Inf (eu > mudei a variavel porque odeio trabalhar com -Inf, eu sempre me > enrolo). Entao x=1-1/z, e: > lim(x -> 1-) x^[1/(1-x)] = lim(z -> +Inf) (1-1/z)^z = 1/e > (Este tambem jah deve ter sido feito... senao, faca agora z=h+1 e escreva: > lim (h -> +inf) (1-1/(h+1))^(h+1) = lim (h/(h+1))^(h+1) = 1/ [lim > ((h+1)/h)^h . lim (h+1)/h]= 1/(e.1)=1/e.) > > Abraco, > Ralph > > 2009/4/16 Henrique Rennó <[email protected]>: > > Olá Marcelo, > > > > Desculpe, mas não entendi sua solução. > > > > Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não > > exp[ln(x)/(1-x)]? > > > > O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?) > > onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função > tantas > > vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a > > indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você > chegou > > em exp[(1/x)/(-1)]. > > > > Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim, > > acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de > > L'Hôpital. > > > > Obrigado! > > > > Abraços > > > > 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato <[email protected]> > >> > >> Olá Henrique, > >> > >> x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] = > >> exp(-1/x) > >> > >> Logo, o limite vale 1/e. > >> > >> abraços, > >> Salhab > >> > >> > >> > >> > >> > >> 2009/4/15 Henrique Rennó <[email protected]> > >>> > >>> Existe uma solução algébrica para o seguinte limite? > >>> > >>> lim, x->1, x^[1/(1-x)] > >>> > >>> -- > >>> Henrique > >> > > > > > > > > -- > > Henrique > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html> > ========================================================================= > -- Henrique
