2) Seja
x_n>0 para todo n.Mostre que, se Lim x_n+1/x_n =a, então Lim (x_n)^1/n=a.
Conclua que , Lim n/n!^1/n=e( neperiano
Para n > 1, (x_n)^(1/n) = (x_1(^(1/n) . [(x_2/x_1).... . (x_n/x_(n
-1))]^(1/n) = (x_n)^(1/n) = (x_1(^(1/n) . [((x_2/x_1).... . (x_n/x_(n
-1)))^(1/(n -1))]^(n/(n -1))
Temos que lim (x_1)^(1/n) = 1[((x_2/x_1).... . (x_n/x_(n -1)))^(1/(n - 1) eh a
sequencia das medias geometricas de (x_n/x_(n - 1)), Como esta ultima converge
para a, o mesmo se verifica para a sequencia de suas medias geometricas.lim
n/(n - 1) = 1.
Sendo x_n = n/(n!^(1/n)) = [n^n/n!]^(1/n), mostre que x_(n + 1)/x_n --> e. Sem
tempo agora.
Artur
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