Opz, esqueci de falar sobre o L'Hopital.
Tem como resolver lim{x->1} ln(x)/(1-x) sem utilizar L'Hopital, façamos x =
1+y, entao: lim{y->0} -ln(1+y)/y = -1
Ta certo, estou afirmando que lim{y->0} ln(1+y)/y = 1 sem provar.. mas no
meu curso de cálculo 1 esse era considerado um "limite fundamental" e podia
ser usado sem problemas.
Já vi a demonstração que lim{y->0} ln(1+y)/y = 1 sem utilizar L'Hopital..
mas eu realmente não lembro ;)
Acho que outros aqui podem nos ajudar nesta ;) hehehe
abraços,
Salhab
2009/4/16 Marcelo Salhab Brogliato <[email protected]>
> Olá Henrique,
> desculpe, realmente pulei diversas etapas na minha solução.
>
> x^[1/(1-x)] = exp[ ln(x^(1/(1-x))) ]
> mas ln[ x^(1/(1-x)) ] = ln(x) / (1-x), pois log(a^b) = b*log(a).
> Desta maneira, temos: x^[1/(1-x)] = exp[ ln(x)/(1-x) ]
>
> Veja que em lim{x->1} ln(x)/(1-x) temos uma indeterminação do tipo 0/0,
> logo, podemos aplicar L'Hopital.
> Usando L'Hopital, derivamos o numerador e o denominador, obtendo: lim{x->1}
> ln(x)/(1-x) = lim{x->1} (1/x)/(-1) = lim{x->1} -1/x = -1
>
> Certo, agora vamos usar o seguinte teorema:
> Se f(x) é continua, temos que lim{x->a} f(g(x)) = f(lim{x->a} g(x))
>
> No caso, temos f(x) = exp(x) e g(x) = ln(x)/(x-1)
> Como lim{x->1} g(x) = -1, temos que lim{x->1} f(g(x)) = f(-1) = exp(-1) =
> 1/e.
>
> Novamente respondi correndo um pouco, mas acho que fui mais claro.
>
> abraços,
> Salhab
>
>
>
> 2009/4/16 Henrique Rennó <[email protected]>
>
> Olá Marcelo,
>>
>> Desculpe, mas não entendi sua solução.
>>
>> Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não
>> exp[ln(x)/(1-x)]?
>>
>> O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?)
>> onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas
>> vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a
>> indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou
>> em exp[(1/x)/(-1)].
>>
>> Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim,
>> acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de
>> L'Hôpital.
>>
>> Obrigado!
>>
>> Abraços
>>
>> 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato <[email protected]>
>>
>> Olá Henrique,
>>>
>>> x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
>>> exp(-1/x)
>>>
>>> Logo, o limite vale 1/e.
>>>
>>> abraços,
>>> Salhab
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> 2009/4/15 Henrique Rennó <[email protected]>
>>>
>>>> Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?
>>>>
>>>> lim, x->1, x^[1/(1-x)]
>>>>
>>>> --
>>>> Henrique
>>>>
>>>
>>>
>>
>>
>> --
>> Henrique
>>
>
>
