O que o Marcelo fez funciona (ele tirou a exponencicao do ln, que fica
entao multiplicando do lado de fora do ln; depois ele se preocupou soh
com o limite dentro de exp, tem que esquecer o exp por um instante --
esse limite de dentro eh que foi feito por L'Hopital) e eu acho que eh
o jeito mais rapido. Mas, se ainda nao sabemos L'Hopital, temos a
seguinte opcao: vamos fazer os limites laterais trocando variaveis.
Pela direita, quando x -> 1, vou tomar y=1/(x-1). Note que x -> 1+
sse y -> +Inf. Assim
lim(x -> 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y -> +Inf) (1+1/y)^(-y) = 1 / lim (y ->
+Inf) (1+1/y)^y=1/e
(imagino que este limite fundamental do denominador tenha sido feito
previamente, talvez ateh como a definicao de e, senao temos que
trabalhar mais)
Para x -> 1-, vou tomar z=1/(1-x). Note que, de novo, z -> +Inf (eu
mudei a variavel porque odeio trabalhar com -Inf, eu sempre me
enrolo). Entao x=1-1/z, e:
lim(x -> 1-) x^[1/(1-x)] = lim(z -> +Inf) (1-1/z)^z = 1/e
(Este tambem jah deve ter sido feito... senao, faca agora z=h+1 e escreva:
lim (h -> +inf) (1-1/(h+1))^(h+1) = lim (h/(h+1))^(h+1) = 1/ [lim
((h+1)/h)^h . lim (h+1)/h]= 1/(e.1)=1/e.)
Abraco,
Ralph
2009/4/16 Henrique Rennó <[email protected]>:
> Olá Marcelo,
>
> Desculpe, mas não entendi sua solução.
>
> Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não
> exp[ln(x)/(1-x)]?
>
> O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?)
> onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas
> vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a
> indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou
> em exp[(1/x)/(-1)].
>
> Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim,
> acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de
> L'Hôpital.
>
> Obrigado!
>
> Abraços
>
> 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato <[email protected]>
>>
>> Olá Henrique,
>>
>> x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
>> exp(-1/x)
>>
>> Logo, o limite vale 1/e.
>>
>> abraços,
>> Salhab
>>
>>
>>
>>
>>
>> 2009/4/15 Henrique Rennó <[email protected]>
>>>
>>> Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?
>>>
>>> lim, x->1, x^[1/(1-x)]
>>>
>>> --
>>> Henrique
>>
>
>
>
> --
> Henrique
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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