Oi Decio,
É, o par ordenado como primitivo era denotado pelo C ao contrário que eu mencionei. Na minha versão inglesa ainda tem esse C. Realmente, os sistemas que Bourbaki adota, principalmente aquele com o C ao contrário, são realmente péssimos para se fazer semântica. A metamatemática deles é finitária, no sentido do Hilbert, não apenas construtiva em um sentido intuicionista. Não há quase nada que chamaríamos "semântica" na parte de lógica/teoria de conjuntos do Bourbaki. Eu disse que não há quase nada que chamaríamos semântica, porque sei de um exemplo no texto de resultado que normalmente chamamos semântico: trata-se do *teorema das tautologias* (Post) que diz que toda tautologia é teorema do cálculo proposicional e todo teorema do cálculo proposicional é tautologia. Contudo, o teorema das tautologias, infelizmente, está nos exercícios: é o exercício 7 do apêndice do capítulo 1 (tanto na edição inglesa quanto na francesa que tenho aqui). O exercício seguinte também é semântico. Acho que é só. Para fazer semântica mais avançada que isso, ainda que finitária, é preciso considerar formulações melhores para a lógica. Eu disse que *normalmente* chamamos semântico o teorema das tautologias porque isso também não é sem controvérsias: "The decision procedure for validity is based on a syntactical notion, the notion of a tautology." Chang & Keisler, Model Theory, página 7, último parágrafo. Com relação ao axioma da escolha, a utilização do símbolo \tau por si só não atrapalharia. O problema é que Bourbaki deixa esse operador ocorrer livremente no axioma da substituição. Aí o sistema prova o axioma da escolha, trivialmente. Isso faz com que qualquer investigação semântica que procure isolar o axioma da escolha torna-se impossível nesse sistema. Abraço Rodrigo 2013/1/28 Decio Krause <[email protected]> > Legal, Rodrigo. Informações precisas. Acrescento mais umas. > Sim, você está certo quanto ao quadradinho. Na primeira edição, o par > ordenado era primitivo, o que não ocorre nas edições posteriores, inclusive > na versão inglesa de 1968. Para ele, fazer matemática significa escrever > símbolos no papel de acordo com certas regras que ele delineia no livro. > Assim, ainda que sua matemática possa ser chamada de "clássica" (há algo > mais "clássico" que Bourbaki?), sua metamatemática é construtiva, pois um > problema pode não ter sido provado ser verdadeiro e nem falso porque ainda > não se escreveu símbolos em quantidade suficiente para saber se ele é um > teorema ou não. Mas vale o 3o excluído: ele é ou verdadeiro (teorema) ou > não. "Verdade" aqui significa "prova". Não há semântica em sentido usual. > Quanto ao axioma da escolha, ele usou o epsilon de Hilbert como símbolo > primitivo, que denota por um \tau. Com isso, o AE é teorema. Eu procurei > saber porque fez isso. Acho que ele(s) acreditava piamente que um dia o AE > seria demonstrado, e assim estaria se adiantando bastante. Caiu do cavalo. > Abraço > D > > ________________________________ > Décio Krause > Departamento de Filosofia > Universidade Federal de Santa Catarina > 88040-940 Florianópolis, SC -- Brasil > deciokrause[at]gmail.com > www.cfh.ufsc.br/~dkrause > ________________________________ > > > > > > > > Em 28/01/2013, às 13:16, Rodrigo Freire escreveu: > > O quadradinho do Bourbaki cumpre o papel de *lugar de variável ligada*. É > preciso o link de desambiguação para ligar o quadradinho ao operador tau > correspondente. Os links não estão oficialmente entre os símbolos da > linguagem, mas ocorrem na formação de expressões. O operador tau é um > "variable binding operator" que escolhe um indivíduo satisfazendo uma > "relação", se um tal indivíduo existir. No sistema de Bourbaki, há um > axioma (padrão para esse tipo de operador) que diz que "relações > equivalentes produzem o mesmo indivúduo pela aplicação de tau". É um > resultado clássico a conservatividade desse sistema sobre a lógica de > primeira ordem. > > A formulação da linguagem formal de Bourbaki difere em edições diferentes > do livro. Tenho aqui uma edição em lingua francesa da Springer e uma edição > em língua inglesa também da Springer. Na edição em inglês, há um símbolo > impossível de reporduzir, um C ao contrário, cuja interpretação pretendida > é a operação de formação de pares ordenados (talvez o C ao contrário tenha > algo a ver com couples = pares). Na edição em francês, esse símbolo não > existe. Acho que, cronologicamente, primeiro eles adotaram o C ao contrário > para formar pares, depois desistiram. > > Já vi em algum lugar que a arbitrariedade da definição de par ordenado de > Wiener-Kuratowski causou repulsa em Andre Weil, e esse seria o motivo da > introdução do C ao contrário. > > Essas escolhas não são sem importância para a semântica. Esses simbolos > que geram conjuntos como o C ao contrário e o tau criam problemas. Por > exemplo, como não há controle do rank na geração de conjuntos a partir do > tau e do C ao contrário, não há como garantir que V_k, com k um cardinal > fortemente inacessível, seja modelo da teoria. De um modo geral, reflexão > se torna problemática com essa formulação. > > Além disso, no sistema de Bourbaki, o tau pode ocorrer nas instâncias do > axioma da substituição (que no caso do Bourbaki é um axioma que funde > substituição e união. O Shoenfield usou a mesma formulação que o Bourbaki > desse axioma em seu livro de lógica.) Com isso, Bourbaki não precisa > postular o axioma da escolha, ele passa a ser um teorema. Claro que muitas > investigações fundacionais que procuram isolar o papel do axioma da escolha > não podem ser conduzidas em um sistema como o do Bourbaki. > > Os capítulos finais da teoria de conjuntos são melhores. No capítulo de > estruturas tem uma formulação (que seria considerada um pouco desajeitada > do ponto de vista de categorias) do teorema do funtor adjunto. Bourbaki > chama isso de "existência de aplicações universais", seção 3.2 do capítulo > 4 do livro de teoria de conjuntos (Claro que Bourbaki só considera funtores > representáveis. Além disso, não há em Bourbaki a definição atual de > adjunção) > > Na minha edição francesa aqui, Bourbaki usa a palavra "ensemble" > frequentemente. Na edição inglesa ele também usa "set" com frequência. Acho > que só no primeiro capitulo ele não usa a palavra "conjunto". Mas isso é > compreensível porque o primeiro capítulo é de "lógica". Do segundo capítulo > para frente, acho que é um bom livro de teoria de conjuntos básica. > > O primeiro capítulo de lógica do Bourbaki acho que é muito desajeitado. > Nesse capítulo não há desenvolvimento sistemático de algo que chamaríamos > "semântica". É uma escolha um tanto infeliz, eu acho. > > > Abraço > Rodrigo > > > > > > > _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
