Caro Israel,
Não entendo sua objeção ao argumento do Ralph, que está correto.
Isso nem seria necessário, mas note que se a_n = Raiz(2)/n para todo
inteiro positivo n, como a_{n+1}=Raiz(2)/(n+1), temos que
a_{n+1}=(n/(n+1)).a_n para todo inteiro positivo n. Isso é uma
recorrência que relaciona (como você queria) cada termo com o anterior
e que dá uma prova por indução de que a_n é irracional para todo n:
a_1=Raiz(2) é irracional; se, por hipótese de indução, a_n é
irracional, então, como n/(n+1) é um racional não-nulo,
a_{n+1}=(n/(n+1)).a_n também é irracional, c.q.d..
Mas, no entanto, lim a_n=0 é racional...
Abraços,
Gugu
Quoting Israel Meireles Chrisostomo <[email protected]>:
É mais, no exemplo que vc citou é diferente, pq o fato do termo anterior
ser irracional não implica uma igualdade entre o termo anterior e o
próximo, isto é, seu contra-exemplo não pode ser aplicado.Minha dúvida é
mais específica, pois a sequência que eu coloquei é uma igualdade que
implica que cada cotangente subsequente é irracional pela igualdade
estabelecida com a cotangente anterior, então isto deve implicar que a
próxima cotangente é irracional.No seu caso, não há uma relação recursiva
que te permita escrever a raiz de 2 sobre n com uma igualdade entre o termo
anterior e o próximo.E sobre o limite de um número irracional ser um número
racional, se vc pegar este seu contra-exemplo não se pode dizer que a
função zeta para valores pares é transcendente, pois esta implicação é
feita através de limites, pois se conclui que a função zeta é transcendente
pq pi é transcendente,isto é pq zeta é igual a pi^2k multiplicado por um
racional, o que só pode ser provado por meio de limites, e então, o que vc
me diz? Logo, acredito que esse seu argumento perde o efeito.
Em 2 de maio de 2015 17:54, Ralph Teixeira <[email protected]> escreveu:
Nao funciona... Voce pode ter uma infinidade de numeros irracionais, cujo
limite eh RACIONAL. Pense por exemplo na sequencia
a_n = Raiz(2)/n
Todos esses a_n sao irracionais, mas o limite da sequencia eh 0, um
racional.
Ou seja, como voce suspetaiva, soh porque alguma propriedade vale para
todo n natural, nao significa que ela valha quando n->+Inf.
Abraco, Ralph.
2015-05-02 16:58 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
[email protected]>:
Olá gente, gostaria de saber se o meu raciocínio para demonstrar a
irracionalidade de pi está correto, a demonstração está no link:
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxpc3JhZWxtY2hyaXNvc3RvbW98Z3g6N2I1M2RhZjEwZmZkYmM3Nw
Se alguém puder me ajudar, por favor, me diga algo que eu não saiba, por
exemplo uma justificativa plausível do pq eu não posso aplicar o raciocínio
"infinitas vezes" da forma como fiz .A minha dúvida é bem simples, pois se
eu tivesse partido do princípio que a cotangente ao invés de irracional é
algébrica, pois é raiz do polinômio contido na demonstração, então, eu
poderia ter chegado erroneamente a conclusão de que pi é algébrico plea
igualdade, o que é falso, como contornar isso?A demonstração ainda sim está
correta?
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