2013/12/4 Cassio Anderson Feitosa <[email protected]>: > Mas acredito que o outro raciocínio levou a todas as soluções. É. Quando p é um número primo, uma equação do segundo grau n^2 = x (mod p) ou tem duas raízes, ou não tem nenhuma (o único caso de raiz única é n^2 = 0, mas isso é uma raiz "dupla"). No seu caso, para mostrar que n^2 = x (mod p*q), você tem que mostrar que cada uma das equações tem raiz, logo terá duas, e portanto ao fazer as combinações, você obtém 4 raízes ao todo (mod p*q). Basta que haja uma para que haja infinitas, mas se houver uma raíz mod (p*q) então você terá 4 (com multiplicidades, se for o caso). É um exercício legal calcular quantas dessas equações n^2 == x (mod p*q) tem 4 soluções diferentes, 2 soluções duplas, 1 solução quádrupla (x = 0 apenas) e deduzir quantas delas não têm !
>>> Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa >>> <[email protected]> escreveu: >>>> >>>> 8n^2+5\equiv 0\pmod 77 é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7 e >>>> 8n^2+5== 0 mod 11. >>>> >>>> Primeira parte: 8n² == 5 mod 11 <==> 8n^2 == 6mod 11 Aqui teve um errinho (e também mais embaixo) que me comeu um tempo... de 8n^2 + 5 == 0, você esquece o sinal e faz 8n^2 == 5, (em vez de == -5) e depois você inverte o sinal 8n^2 == 6 e "acerta de novo". Fora isso, certíssimo. Você poderia ter "invertido" 8 módulo 11 (8*7 = 56 == 1) e obter um pouco mais rápido 0 = 7*8n^2 + 7*5 == 56 n^2 + 35 == n^2 + 2 => n^2 == -2 == 9 mod 11. (O mesmo vale embaixo, onde 8 == 1 mod 7 direto, 0 == 8n^2 + 5 == n^2 + 5 => n^2 == -5 == 2 == 9 mod 7) >>>> ==> 4n² == 3 mod >>>> 11 <==> 3(4n²) == 9 mod 11 <==> 12n²==n²==9 mod 11 ===> n==3 ou n== -3 >>>> mod 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11. >>>> >>>> Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 <==> 8n^2 == 2mod 7 ==> 4n² == 1 mod 7 >>>> <==> 2(4n²) == 2 mod 7 <==> 8n²==n²==2 mod 7. =====> n==3 ou n== -3 mod >>>> 11, ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7. >>>> >>>> Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 "gera" uma solução. >>>> o sistema n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução >>>> n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução >>>> n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução. >>>> >>>> >>>> Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo >>>> Teorema chinês de Resto. >>>> >>>> Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro. >>>> >>>> -- >>>> Cássio Anderson >>>> Graduando em Matemática - UFPB -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
