Pelo pequeno teorema de Fermat sabe-se que se p é primo e mdc(p,a) então vale a^(p-1)≡1mod(p).Para usarmos esse teorema, temos que garantir que mdc(a,p)=1, mas note que p não divide a e também não divide b, pois se p dividisse a, para dividir a soma a²+b² ,também deveria dividir b, mas isso é absurdo pois se p divide a² e b² também divide a e b, logo p também dividiria o mdc(a,b)=1, ou seja p dividiria 1, absurdo. Então pelo teorema de Fermat temos a^(p-1)≡b^(p-1)≡1 (mod p) Equação i Mas note que
a^(p-1)=[a²]^((p-1)/2) Equação ii Substituindo Equação ii em i, temos [a²]^((p-1)/2)≡b^(p-1)≡1 (mod p) Equação iii E como a²+b²≡0 (mod p) segue que a²≡-b² (mod p) ->(a²)^((p-1)/2)≡(-b²)^((p-1)/2) (mod p) ->(a²)^((p-1)/2)≡(-1)^((p-1)/2).b^(p-1) (mod p) Equação iv Usando a equação iv em equação ii, temos: (-1)^((p-1)/2).b^(p-1)≡b^(p-1)≡1 (mod p) Equação v Pela Equação v, o resto deve ser igual a +1, para que isso aconteça o expoente tem que ser par, logo (p-1)/2 é da forma 2k então p=4k+1 Em 8 de fevereiro de 2016 17:31, marcone augusto araújo borges < [email protected]> escreveu: > Demonstre que se mdc(a,b) = 1, então todos os divisores primos ímpares > de a^2 + b^2 são da forma 4k+1 >
