Ola Fernando, Sergio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O argumento do Fernando e interessante. Vejamos. Seja N a cardinalidade dos numeros naturais e seja B um numero binario infinito fixo, tomado como base do processo. Para cada digito de B lancamos uma moeda honesta. Ha duas possibilidades :
Ocorrendo "cara" mantemos o digito; ocorrendo "coroa", o invertemos Pelo principio multiplicativo o "total" de possiveis numeros binarios infinitos gerados sera 2x2x2x...x2x2x..., onde neste produto ha tantos fatores quando a quantidade de digitos do numero binario B. Como claramente B tem "N" digitos segue que serao possiveis 2^N numeros binarios. O que e o 2^N que descrevemos acima ? Uma notacao para um processo ... Seja A um conjunto com M elementos. Quantos subconjuntos A tem ? Resposta : 2^M. E claramente 2^M > M para todo M natural. Esse fato simples valido para "numeros finitos" tambem e valido para "numeros transfinitos", ou seja, o Cantor mostrou que a cardinalidade do conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto infinito A tem uma cardinalidade superior a cardinalidade de A. Se M e a cardinalidade do conjunto infinito A entao REPRESENTAMOS a cardinalidade do conjunto dos subconjunto de A com o simbolo 2^M. Assim, 2^M nao e a descricao de um processo mas tao somente uma notacao. Se N e a cardinalidade dos numeros naturais, vale dizer, a "quantidade" de elementos de qualquer conjunto enumeravel, representamos por 2^N a cardinalidade do conjuntos de todos os subconjuntos ( finitos e infinitos ) dos numeros naturais. Portanto, nao esta claro que o 2^N - representacao de um processo - usado pelo Carissimo Fernando e a mesma coisa que o 2^N usado para representar a cardinalidade do conjunto de todos os subconjuntos dos numeros naturais. TEM MAIS Seja C a cardinalidade dos reais. Seja 2^N a cardinalidade do conjunto de todos os subconjuntos dos numeros naturais. Quem disse que 2^N = C ? Essa e a hipotese do continuo, vale dizer, nao existe um conjunto com cardinalidade entre a dos naturais e a dos reais. Essa e uma questao "em aberto". Mais que isso : e uma hipotese absolutamente independente ... Se voce supor que 2^N = C nao ha problemas. Se voce supor que 2^N # C tambem nao ha problemas, nao obstante cada uma destas possibilidades conduzirem a uma Matematicas Diferentes. Este estado de coisas da hipotese do continuo e absolutamente inaceitavel ... Trata-se do nosso principal problema de contagem e nao sabemos fazer a pergunta certa de maneira a termos uma resposta satisfatoria. E uma das maculas da Matematica, que mais dia menos dia vai ter que receber uma feicao nova. Seja C a cardinalidade dos reais. Se voce supor a ordem natural para os numeros transfinitos do Cantor e se perguntar : Quem e "C" ? O segundo Alefe ? O terceiro Alete ? A resposta honesta e : nao sabemos ! Por que ? Por causa da incerteza quanto a hipotese do continuo... Em verdade, dizer que um conjunto nao e enumeravel e o mesmo que dizer que nao conhecemos a sua cardinalidade, tendo por base a "sequencia" de numero tranfinitos construida pelo Cantor. Assim, carissimo Fernando, mesmo que seja possivel demonstrar que a quantidade de numeros ( cardinalidade ) binarios possiveis gerados pelo processo da moeda que voce descreveu nao seja a cardinalidade dos naturais, nao e absolutamente seguro dar o "salto quantico" e dizer que ha tantos possiveis numeros binarios quanto a quantidade de numeros reais. Note que estou usando uma linguagem simples, sem maiores preocupacoes com rigor. Falando com precisao, nos ( Matematicos ) dizemos que a cardinalidade de um conjunto A "e menor que" a cardinalidade de um conjunto B se existe uma injecao f: A -> B mas nao existe uma bijecao g: A-> B. TEM MAIS Seja D o conjunto de todos os numeros binarios potencialmente gerados pelo processo descrito pelo Fernando. Suponhamos que se prove que existe uma bijecao f : D -> R, onde R e o conjunto dos numeros reais, ou seja, a cardinalidade de D e C ( C = cardinalidade do conjunto dos numeros reais ). Seja E o conjunto de todos os programas efetivos numa dada linguagem. Sabemos que E e enumeravel. Em E estaram as dscricoes de todos os elementos de D que apresentam REGULARIDADE ESTATISTICA ? O que, precisamente, REGULARIDADE ESTATISTICA ? IMAGINO que regularidade estatistica e a capacidade de ser descrito por um procedimento efetivo, vale dizer, um algoritmo. Neste caso, eu penso que voce estaria apenas atribuindo um novo nome, ALEATORIO, aos numeros nao computaveis, E NAO CARACTERIZANDO-OS DE FORMA DEFINITIVA : Acima eu tentei apresentar as minhas duvidas com o objetivo de , de alguma forma, contribuir para o esclarecimento da questao. Deve-se ressaltar, entretanto, que os Matematicos sao, em geral, bastante parcimoniosos na introducao de novos conceitos, o que, parece-me, ser o nucleo da questao aqui focalizada. So depois que uma nova visao, em geral com conceitos novos, mostra-se capaz de resolver de forma satisfatoria problemas conhecidos, dificeis ou impossiveis de serem tratados com o ferramental tradicional, e que ela e lentamente aceita e adotada. E novos conceitos dificilmente se apresentam de forma acabada ou completa. Mesmo a pessoa que os percebe num primeiro momento tem apenas uma compreensao limitada deles : TODOS os grandes saltos cientificos e, em particular, matematicos, foram feitos assim. A independencia da Hipotese do Continuo e a demonstracao que mais fortemente sugere que o nosso atual Universo Conceitual e insuficiente para descrever as coisas, ou seja, que nao estamos sabendo fazer as perguntas corretas. Um Abracao Paulo Santa Rita 6,0839,120108 2008/1/17, Sergio Lima Netto <[EMAIL PROTECTED]>: > > > > Na fisica existe uma relacao simples que liga estas coisas, isto e, o > > produto da incertezas deve ser maior que um valor conhecido : haveria > > uma relacao matematica analoga a incerteza fisica ? > > Caros, > Talvez esteja forcando a barra, me parece que existe uma ponte > entre os conceitos de aleatoriedade e complexidade de Kolmogorov > (comprimento do menor programa que gera uma string (um numero)): > A teoria da informacao de Shannon. Estamos falando de coisas abstratas > e nada triviais; a ideia de fazer a ponte, entao, eh mais > abstrata ainda (pelo maior grau de generalidade). Uma tentativa, > bem feita nomeu entender, existe no livro de Teoria da Informacao > de Cover e Thomas, pela prentice-hall se nao me engano. > > Em relacao a "relacao matematica analoga a incerteza fisica" eu imagino > que a medida de entropia definida por Shannon (nao confundir com a > entropia da termodinamica) eh uma medida do grau de incerteza > de uma variavel aleatoria - eh tambem uma medida da aleatoriedade > da variavel aleatoria e tambem o limite de compressao da mesma > variavel aleatoria. Qualquer livro de teoria da informacao > poderia ser usado aqui para desbravar este tema, sendo os principais: > i- artigo original do Shannon publicado em 48 no Bell Syst Tech Jrnl > ii- livro do Shannon com co-autor, com mesmo conteudo do artigo > iii- livro do Gallager (este eh o mais classico em termos didaticos) > iv- o supra-citado livro do Cover e Thomas (approach mais moderno). > > Abracos, > sergio > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
