Re: [obm-l] Convergência/divergência de s ére

[Carlos Nehab]

Oi, Nicolau, Meus neurônios devem estar de mau hunor, pois continuo não enxergando de que forma a existência de  "infinitos n's"  tais que sen (n^2) > 0 justificaria a divergência da série dada. Não enxergo sequer, se é este o argumento, que tal fato implicaria na existência de subseq divergente da sequência das "SOMAS PARCIAIS" da série dada.    O que definitivamente não estou percebendo de tão óbvio? Abraços, Nehab Nicolau C. Saldanha escreveu: On Thu, Sep 13, 2007 at 03:48:45PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: O que podemos afirmar quanto a convergencia ou divergencia de Soma (n =1, oo) (1 + sin(n^2))/(raiz(n)) ? A série diverge. O fato difícil aqui é provar que sin(n^2) > 0 para "muitos" valores de n. De fato, sin(n^2) > 0 para aproximadamente a metade dos valores de n, i.e., se a_n = #{m < n | sin(m^2) > 0} então lim a_n/n = 1/2. Isto não é muito surpreendente mas não acho que exista demonstração muito fácil: segue de n^2 ser uniformemente distribuido módulo 2pi. Uma seq a_n de reais é uniformemente distribuida módulo T se para todo intervalo I contido em [0,1] valer lim b_n/n = |I| onde b_n = #{m < n | parte fracionaria(a_m/T) pertence a I}. O seguinte teorema caracteriza seqs uniformemente distr mod T. Seja a_n uma seq. Dado N, defina b_n = SOMA_{m<n} exp(2*pi*i*N*a_m/T) (aqui i = sqrt(-1)). Então a_n é unif distr módulo T se e somente se lim b_n/n = 0 (para todo N). É um fato bem conhecido que se c/T é irracional então a seq cn é uniformemente distribuida módulo T (isto segue facilmente do teorema acima). Um fato bem menos conhecido é que se p é um polinômio com coeficiente líder c e c/T é irracional então a seq p(n) é unif distribuida módulo T. O segundo fato segue do primeiro por indução usando o seguinte teorema (a demonstração não é difícil usando o primeiro teo). Seja a_n uma seq e T > 0. Suponha que para todo natural N a seq b_n = a_(n+N) - a_n seja unif distr módulo T. Então a_n é unif distr módulo T. Acho que é bem mais difícil decidir se a série abaixo converge (condicionalmente): Soma (n =1, oo) (sin(n^2))/(raiz(n)) []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================