On Tue, Oct 02, 2007 at 06:43:47PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote: > On Thu, Sep 13, 2007 at 03:48:45PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: > > O que podemos afirmar quanto a convergencia ou divergencia de > > > > Soma (n =1, oo) (1 + sin(n^2))/(raiz(n)) ? > > A série diverge.
Naquela outra mensagem mandei uma solução correta porém nem elementar nem autocontida. Vou tentar desta vez dar uma solução elementar e autocontida. Lema: Para todo n vale a desigualdade abaixo: sin((n-1)^2) + sin(n^2) + sin((n+1)^2) > -3 + C, C = 10^(-4). Obs: Este não é nem de longe a melhor estimativa para C. Dem: Suponha por absurdo o contrário. Temos sin((n-1)^2), sin(n^2), sin((n+1)^2) < -1+C Seja D = arccos(1-C) < 2*10^(-2). Temos 2 k1 pi - D < (n-1)^2 - 3 pi/2 < 2 k1 pi + D (I) 2 k2 pi - D < n^2 - 3 pi/2 < 2 k2 pi + D (II) 2 k3 pi - D < (n+1)^2 - 3 pi/2 < 2 k3 pi + D (III) Multiplicando (II) por -2 temos -4 k2 pi - 2D < - 2 n^2 + 6 pi/2 < -4 k2 pi + 2D. (IV) Observe que (n-1)^2 - 2 n^2 + (n+1)^2 = 2. e somando (I), (III) e (IV) temos 2 (k1 - 2 k2 + k3) pi - 4D < 2 < 2 (k1 - 2 k2 + k3) pi + 4D (V) Fazendo k = k1 - 2 k2 + k3 e dividindo (V) por 2 pi temos k - 2D/pi < 1/pi < k + 2D/pi o que é um absurdo. qed Agora junte os termos da série de 3 em 3: (1+sin((3k+1)^2))/sqrt(3k+1) + (1+sin((3k+2)^2))/sqrt(3k+2) + (1+sin((3k+3)^2))/sqrt(3k+3) > ( 3 + sin((3k+1)^2) + sin((3k+2)^2) + sin((3k+3)^2) )/sqrt(3k+3) > C/sqrt(3k+3) reduzindo o problema a uma série bem conhecida. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
