a funão seno varia de 0 a ´pi com valor positivo e depois repete os valores
de pi a 2pi , mas com sinal contrario, de forma que, temos valores de
sen n^2/rqn -senn^2/(rq(n+1))= f(n)>0
no final da
f(n)+f(n+1)+f(n+2) que diverge
On 10/4/07, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Oi, Nicolau,
>
> Meus neurônios devem estar de mau hunor, pois continuo não enxergando de
> que forma a existência de "infinitos n's" tais que sen (n^2) > 0
> justificaria a divergência da série dada.
>
> Não enxergo sequer, se é este o argumento, que tal fato implicaria na
> existência de subseq divergente da sequência das "SOMAS PARCIAIS" da série
> dada.
>
> O que definitivamente não estou percebendo de tão óbvio?
>
> Abraços,
> Nehab
>
> Nicolau C. Saldanha escreveu:
>
> On Thu, Sep 13, 2007 at 03:48:45PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
>
>
> O que podemos afirmar quanto a convergencia ou divergencia de
>
> Soma (n =1, oo) (1 + sin(n^2))/(raiz(n)) ?
>
>
> A série diverge.
>
> O fato difícil aqui é provar que sin(n^2) > 0 para "muitos" valores de n.
> De fato, sin(n^2) > 0 para aproximadamente a metade dos valores de n,i.e., se
> a_n = #{m < n | sin(m^2) > 0} então lim a_n/n = 1/2.
> Isto não é muito surpreendente mas não acho que exista demonstração
> muito fácil: segue de n^2 ser uniformemente distribuido módulo 2pi.
>
> Uma seq a_n de reais é uniformemente distribuida módulo T se
> para todo intervalo I contido em [0,1] valer lim b_n/n = |I|
> onde b_n = #{m < n | parte fracionaria(a_m/T) pertence a I}.
>
> O seguinte teorema caracteriza seqs uniformemente distr mod T.
>
> Seja a_n uma seq.
> Dado N, defina b_n = SOMA_{m<n} exp(2*pi*i*N*a_m/T)
> (aqui i = sqrt(-1)).
> Então a_n é unif distr módulo T se e somente se
> lim b_n/n = 0 (para todo N).
>
> É um fato bem conhecido que se c/T é irracional então a seq
> cn é uniformemente distribuida módulo T
> (isto segue facilmente do teorema acima).
> Um fato bem menos conhecido é que se p é um polinômio com
> coeficiente líder c e c/T é irracional então a seq p(n)
> é unif distribuida módulo T.
> O segundo fato segue do primeiro por indução usando o seguinte teorema
> (a demonstração não é difícil usando o primeiro teo).
>
> Seja a_n uma seq e T > 0.
> Suponha que para todo natural N a seq b_n = a_(n+N) - a_n
> seja unif distr módulo T.
> Então a_n é unif distr módulo T.
>
> Acho que é bem mais difícil decidir
> se a série abaixo converge (condicionalmente):
>
> Soma (n =1, oo) (sin(n^2))/(raiz(n))
>
> []s, N.
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
> emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> <http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=========================================================================
