OI Henrique. Obrigado pelo interesse.
Eu teria o maximo prazer em compartilhar o que conheco disso, mas o assunto eh
um tanto extenso para explicar aqui. Exige os fundamentos da teoria de medidas.
Eh necessario que se estude em um livro.
Basicamente, eh o seguinte. Se A eh um conjunto qualquer, dizemos que uma
colecao de M de conjuntos de A eh uma sigma-algebra definida em A se:
1) A e o conjunto vazio estao em M.
2) Se C esta em M, entao o complementar de C tambem estah
3) A uniao de qualquer colecao enumeravel de membros de M esta em M (pelas Leis
de De Morgan, 2 e 3 isto implicam que o mesmo se verifique para interseccoes
enumeraveis)
Dizemos que uma funcao m, definida em M e com valores em [0, oo] isto eh, os
reais nao negativos expandidos, eh uma medida em M se m satisfizer a
1) m(A) >= 0 para todo A de M (o que jah se deduz do contradominio de m)
2) Para todo colecao enumeravel A_n de conjuntos disjuntos 2 a 2 de M, m(Uniao
A_n) = Soma m(A_n) (propriedade conhecida por sigma-aditividade)
A medida de Lebesgue, valida para os espacos vetorias Euclidianos, incluindo os
complexos, eh definida da seguinte forma:
Para cada cobertura enumeravel, (C_n), de A, composta por celulas (intervalos,
retangulos, paralelelpipedos...dependendo de n) abertas de R^n, seja I = Soma
(L(C_n), onde L(C-n) eh o comprimeto de C_n n no caso da reta real, a area no
caso de R^2, o volume no caso de R^3, etc. A medida exterior de Lebesgue de A,
m(A), eh definida por infimo {I}, onde o infimo eh computado sobre a colecao
de todas as coberturas C_n. Quando o conjunto A satisfaz a algumas condicoes
especiais, diz-se que eh mensuravel e e sua medida entao confunde-se com sua
medida exterior.
Acho que nao deu pra clarear nao. O assunto nao se explica em 10 minutos e
exige reflexao.
Abracos
Artur.
[Artur Costa Steiner]
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Henrique Rennó
Enviada em: quinta-feira, 26 de abril de 2007 22:46
Para: [email protected]
Assunto: Re: [obm-l] Mostra que f eh continua
Olá Artur!
Não tenho conhecimento do assunto relacionado a esse problema. Daria muito
trabalho se você tentasse explicar com um pouco de detalhes qual a lógica de
resolução da questão. O que é uma medida de Lebesgue? Como é feita essa
translação de conjunto por elemento (A por x)?
Seja A um subconjunto de R^n com m(A) < oo, onde m eh a medida de Lebesgue.
Para x em R^n, seja A + x = {a + x | a estah em a} a translacao de A por x e
seja f(x) = m(A inter (A + x)). Estou querendo mostrar que f eh continua m
R^n. Ainda nao consegui, alguem pode dar uma sugestao? (a conclusao eh
sabidamente verdaeira)
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Henrique
