O enunciado implica que: N == 56 (mod 100) ==> N == 56 (mod 4*25) N == 0 (mod 56) ==> N == 0 (mod 8*7) N == 56 (mod 9) ==> N == 2 (mod 9)
Ou seja: N == 6 (mod 25) N == 0 (mod 8) N == 0 (mod 7) N == 2 (mod 9) n == 6 (mod 25) ==> N = 6 + 25*a == 2 (mod 9) ==> a == 2 (mod 9) ==> a = 2 + 9*b ==> N = 56 + 225*b == 0 (mod 8) ==> b == 0 (mod 8) ==> b = 8c ==> N = 56 + 1800*c == 0 (mod 7) ==> c == 0 (mod 7) ==> c = 7d ==> N = 56 + 12600*d Agora, resta achar d de modo que a soma dos algarismos de N seja 56, ou equivalentemente, que a soma dos algarismos de 126*d seja 45. Um pouco de reflexão mostra que d não deve ser muito pequeno, pois se o algarismo médio é 4,5 (=(0+1+2+...+9)/10), então 126*d deve ter cerca de 45/4,5 = 10 algarismos (é claro que tem que ter, no mínimo, 6 algarismos, pois o maior número de 5 (ou menos) algarismos com soma 45 é 99.999, que não é múltiplo de 126). Mas, por sorte, 88.888*126 = 11.199.888, cuja soma dos algarismos é 45. O N correspondente é 1.119.988.856. Falta provar que este é, de fato, o menor N que satisfaz ao enunciado. Por enquanto, estou sem idéias. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:[email protected] Cópia: Data:Mon, 23 Apr 2007 16:46:56 -0300 Assunto:[obm-l] Teoria dos números > > Amigos, ajude-me nessas questões: > > 1) Ache o menor número natural terminado em 56, divisível por 56, e com a > soma dos seus algarismos igual a 56. > > 2) Quantas soluções inteiras tem a equação x^1995 + y^1996 = z^1997
