Olá,
Doria: de fato, o tal conceito de "sentenca nao-Godeliana" está
confuso, mas acho que é um termo nao-técnico que o pessoal usa em
apresentacoes históricas, nao deve ter uma definicao formal disso
mesmo. Acho que convém evitar essa expressao e dar nomes aos bois,
Gentzen, Paris-Harrington, Goodstein...
Finger: nao conheco estudos em computacao dessa teoria dos conjuntos
finitos. Observo que, assim como na teoria dos conjuntos usual existem
as "classes próprias", objetos que nao fazem formalmente parte da
teoria mas sobre os quais podemos falar, "abreviando fórmulas" (x
pertence a ON sse x é um ordinal sse ...(fórmula que define um
ordinal)...) numa teoria de conjuntos finitos quem faria esse papel
seriam exatamente os objetos infinitos ("ilimitados no universo").
O exemplo mais simples do que estou falando é o próprio conjunto
V_omega da teoria dos conjuntos usual: nao seria um conjunto nessa
outra teoria dos conjuntos, já que seria o universo.
Até,
[]s Samuel
Quoting Francisco Antonio Doria <famado...@gmail.com>:
> Sempre tem um algoritmo pa resolver instâncias finitas e número do problema
> da parada; não tem é ***um só** algoritmo.
>
> 2010/8/3 Marcelo Finger <mfin...@ime.usp.br>
>
>> Oi Samuel.
>>
>> Taí um tópico que sempre me interessou, pois eu me considero um
>> "anti-infinitista"
>>
>> > Esse argumento é mais ou menos o seguinte: se tiramos o Axioma do
>> > Infinito de ZFC, podemos até mesmo incluir um Axioma do tipo "Todos os
>> > conjuntos sao finitos" e essa teoria fica consistente - basta cortar o
>> > universo no nível \omega da "Hierarquia Cumulativa" e temos lá um
>> > modelo disso.
>>
>> Então, será que alguém já estudou estes modelos e uma teoria dos
>> conjuntos com este axioma: "todos os cjs são finitos"? Como seria uma
>> matemática não-transcendental, totalmente baseada em conjuntos
>> finitos. O Problema da Parada seria trivialmente resolvível, pois as
>> máquinas de Turing sempre parariam (um conjunto de estados de uma
>> execução infinita não existiria). Existe algo sobre isso?
>>
>> []s
>>
>> Marcelo
>>
>>
>> >
>> > O argumento de transcendência é, sendo absurdamente reducionista,
>> > dizer que "assumir a existencia de inacessíveis é um ato de
>> > transcendência análogo ao de assumir a existência de conjuntos
>> > infinitos". Tipo - se já fizemos uma vez, qual o problema em se fazer
>> > de novo ? Para alguns teoristas de conjuntos, é uma maneira de
>> > estender ZFC "mais natural" que o forcing...
>> >
>> > Na verdade, o meu interesse maior é em trabalhar com fatos topológicos
>> > que nao podem ser discutidos sem incluir a presenca de inacessíveis na
>> > jogada, escrevi algo sobre isso nos Proceedings de Itatiaia 2006.
>> >
>> > http://jigpal.oxfordjournals.org/cgi/content/short/15/5-6/433
>> >
>> > No entanto, acho que mais relacionado ao que estamos discutindo sao
>> > alguns resultados de Harvey Friedman nos quais "assercoes sobre
>> > conjuntos finitos" acabam sendo associados a grandes cardinais. Nunca
>> > pesquisei isso, mas me parece bem interessante. Lembremos também que a
>> > própria nocao de finitude nao fica suficientemente clara se retirarmos
>> > o Axioma da Escolha ! Perde-se a equivalência com a nocao de
>> > infinitude de Dedekind.
>> >
>> > Até mais,
>> >
>> > []s Samuel
>> >
>> >
>> >
>> >
>> >
>> >
>> > Quoting Carlos Gonzalez <gonza...@gmail.com>:
>> >
>> >> Olá Samuel,
>> >>
>> >> Além de Con(PA) poder ser provada em ZF, podemos trabalhar com teorias
>> >> mais fortes, como ZF + "existe um cardinal inacessível"=ZFI.
>> >> Trivialmente, Con(ZFI) implica Con(ZF).
>> >>
>> >> Em ZFI pode ser demonstrada Con(ZF), que é um enunciado aritmético
>> >> (com a numeração de Gödel) e que implica Con(PA).
>> >>
>> >> Se ZF é consistente, então Con(ZF) não implica Con(ZFI), de modo que a
>> >> consistência de ZFI é mais duvidosa que as outras mencionadas.
>> >>
>> >> Gödel tinha muitas esperanças nos grandes cardinais, mas depois de
>> >> muita pesquisa não se chegou a nenhum resultado amplamente aceito.
>> >> (Ver o trabalho de Gödel sobre a Hipótese do Contínuo.)
>> >>
>> >> Carlos
>> >>
>> >> Em 2 de agosto de 2010 20:58, Francisco Antonio Doria
>> >> <famado...@gmail.com> escreveu:
>> >>> Por exemplo: posso escrever explicitamente um conjunto de máquinas de
>> Turing
>> >>> P tal que:
>> >>>
>> >>> ``as máquinas P são polinomiais''
>> >>> é indecidível em ZFC, e não equivale à sentença de Gödel.
>> >>> 2010/8/2 Francisco Antonio Doria <famado...@gmail.com>
>> >>>>
>> >>>> Gentzen 36 equivale à sentença de Gödel, Samuel. Tem Kleene 36. Dá pra
>> >>>> fazer infinidades.
>> >>>>
>> >>>> 2010/8/2 <sam...@ufba.br>
>> >>>>>
>> >>>>> Olá Dória,
>> >>>>>
>> >>>>> Grato pela respostas também !
>> >>>>>
>> >>>>> Eu já tinha percebido isso. Alguns autores chegam a chamar de
>> "sentencas
>> >>>>> nao-godelianas" as sentencas aritméticas verdadeiras (no modelo
>> standard)
>> >>>>> que nao podem ser demonstradas, indo pela ordem no tempo:
>> >>>>>
>> >>>>> - Gentzen 36 (Con(PA) por inducao sobre epsilon_zero)
>> >>>>>
>> >>>>> - Paris Harrington
>> >>>>>
>> >>>>> - Goodstein
>> >>>>>
>> >>>>> Tem um review do Smorynski sobre um livro de Smith (nao li o review
>> >>>>> inteiro mas li uns comentários do próprio Smith) no qual o
>> >>>>> Smorynski critica
>> >>>>> duramente o Smith por uma imprecisao histórica, pois o Smith no livro
>> dele
>> >>>>> (Introduction to Godel Theorems) teria dito que o primeiro exemplo de
>> uma
>> >>>>> "nao-Godeliana" seria Paris-Harrington, tendo se esquecido de
>> >>>>> Gentzen 36 (e
>> >>>>> de mais algumas coisas dos anos 50, nao me recordo agora).
>> >>>>>
>> >>>>> Até,
>> >>>>>
>> >>>>> []s Samuel
>> >>>>>
>> >>>>>
>> >>>>>
>> >>>>>
>> >>>>> Quoting Francisco Antonio Doria <famado...@gmail.com>:
>> >>>>>
>> >>>>>> Cuidado que a sentença de Paris-Harrington ***não é*** equivalente a
>> >>>>>> Consis
>> >>>>>> PA.
>> >>>>>>
>> >>>>>> 2010/8/2 <sam...@ufba.br>
>> >>>>>>
>> >>>>>>> Olá a todos,
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Agradeco pelas respostas. A universidade aqui (estou no México)
>> está
>> >>>>>>> em seu (extenso) recesso de verao, nao tinha ninguém pra bater
>> bola,
>> >>>>>>> foi bom bater bola com voces.
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Walter: obrigado pelos comentários e pelo material. Seu aluno
>> Anderson
>> >>>>>>> também me mandou alguma coisa, já o agradeci também. Vou comentar
>> algo
>> >>>>>>> da sua resposta:
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Quoting Walter Carnielli <walter.carnie...@gmail.com>:
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> > Caro Samuel:
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> > o que você levanta são questões profundamente interessantes.
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> > Envio a voce em separado (parece que a Lista não aceita o
>> arquivo)
>> >>>>>>> > um prefácio de Robert Vaught sobre o "review" que Gödel
>> publicou
>> >>>>>>> > sobre os trabalhos de Skolem de 1933 e 1934 (dos quais
>> >>>>>>> > Gödel diz que "são praticamente os mesmos"). Isso aparece nos
>> >>>>>>> > "Collected Works" vol I, editado S. Fefermann, pp. 376-379, que
>> são
>> >>>>>>> > as páginas que envio.
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> > O texto contem a resenha que você procura, e ainda a importante
>> >>>>>>> > opinião de Vaught.
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> > Aparentemente Gödel não viu que a existência dos modelos não
>> >>>>>>> > standard
>> >>>>>>> > segue do Teorema da Compacidade (que ele mesmo demonstrou em
>> 1930!).
>> >>>>>>> > Como Vaught nota na pag. 377, Gödel afirma que tais modelos
>> >>>>>>> > não-standard seguiriam do seu Teorema de Incompletude (o que não
>> é
>> >>>>>>> > incorreto da maneira que Gödel coloca, mas não revela a razão
>> >>>>>>> > principal).
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> > Dou aí abaixo algumas opiniões sobre o que você pergunta
>> (mas
>> >>>>>>> > não são mais que opiniões- não me considero nenhum
>> "especialista"
>> >>>>>>> > sobre o assunto--de resto, parece que nem Gödel, nem Skolem o
>> >>>>>>> > eram...).
>> >>>>>>> > **************************************************************
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> ----------> Pois é, é um assunto derrapante mesmo, como vc disse
>> >>>>>>> depois.
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> >> "Suponha PA consistente. Entao, pelo Primeiro Teorema de
>> >>>>>>> >> Incompletude,
>> >>>>>>> >> PA nao prova a sentenca de Godel G.
>> >>>>>>> >>
>> >>>>>>> >> Segue que PA + ~G é consistente, logo, pelo Teorema da
>> Completude
>> >>>>>>> >> para
>> >>>>>>> >> teorias de primeira ordem, tem modelo.
>> >>>>>>> >>
>> >>>>>>> >> Nesse modelo vale ~G. Entao esse modelo difere do modelo
>> standard,
>> >>>>>>> >> no
>> >>>>>>> >> qual a sentenca de Godel G é verdadeira".
>> >>>>>>> >>
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> > Sim, os modelos não- standard suportam essa situação
>> perfeitamente
>> >>>>>>> > bem.
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> > **************************************************************
>> >>>>>>> >>
>> >>>>>>> >> Apresento algumas questoes, nao sei se elas sao "bobagem" ou
>> nao...
>> >>>>>>> >>
>> >>>>>>> >> 1) Alguém sabe se este é o argumento de Gödel na tal resenha, ou
>> se
>> >>>>>>> >> ele usou esse argumento depois ?
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> > Não usou, e acho (mas não tenho certeza) que Gödel nunca
>> usou
>> >>>>>>> > este argumento. Mas nos trabalhos contemporâneos acredito que
>> isso
>> >>>>>>> > já seja "folclore".
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> ------------> Estou sem o meu Kleene aqui, mas na página 377 do
>> Review
>> >>>>>>> que vc me mandou o Vaught diz que na página 430 do Kleene tem um
>> >>>>>>> comentário sobre o argumento de Gödel, e penso que deve ser algo
>> >>>>>>> parecido mesmo, pegar uma A nao provável, olhar para consistencia
>> de
>> >>>>>>> PA + ~A e aplicar completude.
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Mesmo pensando em termos do modelo standard, o Francicleber me
>> mandou
>> >>>>>>> uma mensagem (a qual também agradeco) lembrando que nao há porque
>> se
>> >>>>>>> preocupar só com a sentenca de Gödel, pois para qualquer A que nao
>> >>>>>>> seja demonstrável, teremos uma entre A, ~A será válida no modelo
>> >>>>>>> standard, e assim teremos uma fórmula válida no modelo standard que
>> >>>>>>> nao será consequencia sintática de PA e que portanto nao vale em
>> todos
>> >>>>>>> os modelos, garantindo a existencia dos modelos nao-standard (mas
>> >>>>>>> passando pelo Teorema da Completude...).
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> >>
>> >>>>>>> >> 2) Usualmente se diz que "G é verdadeira e nao pode ser
>> >>>>>>> >> demonstrada".
>> >>>>>>> >> Bem, G é (facilmente) equivalente à consistência de PA (o que
>> >>>>>>> >> inclusive já prova o Segundo Teorema de Incompletude).
>> >>>>>>> >>
>> >>>>>>> >> Muitas vezes se diz que "G é verdadeira no modelo standard"
>> (isso
>> >>>>>>> >> aparece inclusive no argumento que eu destaquei acima). Essa
>> >>>>>>> >> afirmacao é
>> >>>>>>> >> intuitiva ou pode ser mesmo formalizada ?
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> > Sim, pode ser verificada no modelo standard.
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> --------> Nao achei nenhuma boa referencia sobre isso, mas deu pra
>> >>>>>>> entender que a argumentacao usa a nocao de "truth-in-a-model"...
>> >>>>>>> Essencialmente, a codificacao de Gödel é em cima dos naturais
>> >>>>>>> standard, e depois de feita a prova, olhamos para as codificacoes e
>> >>>>>>> checamos que uma certa fórmula com quantificador vale no modelo
>> >>>>>>> standard (como é semântico, "basta olhar", se fosse sintático teria
>> >>>>>>> que aparecer algo como \omega-consistência). Essa fórmula é G. OK.
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> >> (sobre esse problema eu vi que se tem uma discussao filosófica
>> >>>>>>> >> interessante, "saber" (ou "ser capaz de deduzir que") que a
>> sentenca
>> >>>>>>> >> G
>> >>>>>>> >> é verdadeira seria uma prova de que a mente humana supera os
>> >>>>>>> >> computadores, isso seria um tal argumento de Lucas/Penrose...)
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> > Mas essa é outra questão-- a propósito, dê uma olhada em:
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> > "Why is the Lucas-Penrose Argument Invalid?" Manfred Kerber,
>> >>>>>>> > http://www.cs.bham.ac.uk/~mmk/papers/05-KI.html
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> --------> Essa questao do argumento de Lucas\Penrose, eu já tinha
>> >>>>>>> visto que era bem polêmica... Vou ler esse artigo que vc me
>> indicou.
>> >>>>>>> Trombei na internet com um artigo do Shapiro de nome engracado,
>> >>>>>>> tratando nao exatamente disso mas de algo relacionado: "A sentenca
>> de
>> >>>>>>> Godel é verdadeira - mas alguém mudou de assunto ?"
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> >> 3)(e aqui uma pergunta que se alguém me fizer hoje eu nao sei
>> >>>>>>> >> responder)
>> >>>>>>> >>
>> >>>>>>> >> A sentenca de Godel G é equivalente a Con(PA). Assim, se eu
>> assumo
>> >>>>>>> >> Con(PA), estou assumindo que G é verdadeira. Ela nao deveria
>> entao
>> >>>>>>> >> ser
>> >>>>>>> >> verdadeira em todos os modelos de PA ? Como fica o argumento
>> acima
>> >>>>>>> >> para modelos nao-standard ?
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> > Se eu entendi bem questão (essas coisas são derrapantes),
>> tudo
>> >>>>>>> > isso vale para o modelo standard de PA. Para os não -standard,
>> >>>>>>> > seria
>> >>>>>>> > outra coisa. Mas não há nada de chocante nisso (pelo menos
>> como eu
>> >>>>>>> > vejo).
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> ------> É, aqui eu dei uma derrapda, por falta de experiencia de
>> >>>>>>> trabalhar com PA (faco argumentos do tipo para ZFC e nunca tive
>> >>>>>>> problema nenhum !). Como PA nao prova Con(PA), entao, como a
>> >>>>>>> aritmética, apesar de ser sintaticamente incompleta, é
>> semanticamente
>> >>>>>>> completa, nao vai ter Con(PA) válida em todos os seus modelos.
>> >>>>>>> Tranquilo. Devo estar entre os que pensam no Teorema da Completude
>> >>>>>>> como sendo para LÓGICAS de primeira ordem, sendo que podemos
>> enunciar
>> >>>>>>> para TEORIAS de primeira ordem... Simplesmente, esqueci de aplicar
>> >>>>>>> Completude quando fiz a pergunta (3) !!!
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> "Assumir a consistencia de PA" nao é uma frase "cataclismica" que
>> muda
>> >>>>>>> a compreensao das coisas, só equivale a dizer que uma certa fórmula
>> >>>>>>> (ou string de números...) está sendo suposta verdadeira. "Assumir a
>> >>>>>>> consistencia de PA" é "Estamos trabalhando num modelo onde a
>> sentenca
>> >>>>>>> de Godel é satisfeita".
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Como disse, estou sempre fazendo isso em ZFC. Existem muitas
>> assercoes
>> >>>>>>> matemáticas equivalente a CH (Hipótese do Contínuo) - uma simples e
>> >>>>>>> que estou fazendo propaganda é a seguinte: "Se do plano R^2
>> retiramos
>> >>>>>>> um conjunto de tamanho aleph_1, o que resta é um conjunto
>> simplesmente
>> >>>>>>> conexo". "Assumir CH" nao faz com que essa frase sobre o R^2 seja
>> >>>>>>> verdadeira, "Assumir CH" é trabalhar num modelo em que CH vale (e
>> essa
>> >>>>>>> frase sobre o plano também).
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> > Estou trabalhando na questão da consistência, preparando um
>> artigo
>> >>>>>>> > para os "Proceedings" do evento "CLE/AIPS - Science, Truth
>> and
>> >>>>>>> > Consistency" (em homenagem
>> >>>>>>> > aos 80 anos do Newton) . Minha proposta, mas isso leva uma 25
>> >>>>>>> > páginas, é que há tantas noções de "consistência" que o
>> conceito
>> >>>>>>> > axiomatizado (como nas LFI's) deveria ser levado a sério, e
>> teria
>> >>>>>>> > talvez até modelos não standard!
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>> >
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> ------> Bom, depois gostaremos todos de ter acesso ao trabalho !
>> >>>>>>> A nocao de "consistencia nao-standard" deve ser interessante...
>> Grato,
>> >>>>>>> Walter.
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Décio: meio sem querer, durante a preparacao dessa minha palestra,
>> eu
>> >>>>>>> acabei me preocupando com essas questoes do tipo que vc levantou,
>> "as
>> >>>>>>> más interpretacoes" do Teorema da Incompletude. Fora as questoes
>> mais
>> >>>>>>> óbvias, aplicando incompletude para a Bíblia ou para a
>> Constituicao,
>> >>>>>>> existem outras mais sutis.
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Por exemplo, uma frase que eu já falei para os meus alunos e que
>> nao
>> >>>>>>> está errada, mas dá a entender algo que nao é lá muito correto:
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> "O Teorema da Incompletude mostra que existem questoes matemática
>> >>>>>>> indecidíveis, como por exemplo a Hipótese do Contínuo"
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Bem, tem que se tomar cuidado aí. O Teorema da Incompletude mostra
>> que
>> >>>>>>> existem questoes *aritméticas* indecidíveis. Claro que sao questoes
>> >>>>>>> matemáticas, mas usar a Hipótese do Contínuo como exemplo pode dar
>> a
>> >>>>>>> entender que a indecidibilidade da Hipótese do Contínuo (CH) seria
>> um
>> >>>>>>> "corolário da demonstracao" dos teoremas de incompletude, o que nao
>> é
>> >>>>>>> o caso (a consistencia
>> >>>>>>> de CH veio da construcao do modelo construtível, e a de ~CH veio da
>> >>>>>>> invencao do método de forcing).
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Tem um livro recente do Torkel Franzen, "Incomplete guide for use
>> and
>> >>>>>>> abuse...etc.", acredito que o Walter conhece este livro, assim como
>> >>>>>>> outros colegas também... Nesse livro o autor (que aparentemente
>> >>>>>>> morreu há pouco) faz comentários bastante interessantes sobre este
>> >>>>>>> tipo de problemas. Os teoremas da incompletude nao impedem que
>> alguém
>> >>>>>>> faca uma teoria sobre números e fantasmas que seja sintaticamente
>> >>>>>>> completa no que se refere a... fantasmas.
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Antes de me despedir, levanto uma outra questao, já que falei no
>> >>>>>>> Torkel Franzen:
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Ele tem uma visao interessante sobre o que é dizer que uma assercao
>> >>>>>>> (aritmética) A é verdadeira.
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Ele diz que "A é verdadeira" é equivalente ao... enunciado de A.
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Por exemplo, "A Conjectura de Goldbach é verdadeira" é equivalente
>> a
>> >>>>>>> "Todo par maior do que 2 é soma de dois primos". Pronto, acabou, é
>> uma
>> >>>>>>> afirmacao sobre números naturais.
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> OK, legal, mas concordam que ele está se referindo ao modelo
>> standard
>> >>>>>>> ? Que na verdade ele está se referindo a naturais standard ?
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Pelo que percebi, isso acontece também quando se discutem teoremas
>> >>>>>>> como o de Paris-Harrington e o de Goodstein: dizer que "uma
>> afirmacao
>> >>>>>>> é verdadeira e nao pode ser demonstrada" é dizer que "uma afirmacao
>> é
>> >>>>>>> verdadeira no modelo standard e nao pode ser demonstrada".
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Aí eu pergunto aos colegas: é consenso entre os filósofos da
>> matemática
>> >>>>>>> que
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> fato aritmético verdadeiro = fato aritmético verdadeiro no modelo
>> >>>>>>> standard
>> >>>>>>> ?
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Se sim, acho que é por aí a nocao do Torkel Franzen.
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> Até mais,
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> []s Samuel
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> ----------------------------------------------------------------
>> >>>>>>> Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br
>> >>>>>>>
>> >>>>>>> _______________________________________________
>> >>>>>>> Logica-l mailing list
>> >>>>>>> Logica-l@dimap.ufrn.br
>> >>>>>>> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
>> >>>>>>>
>> >>>>>>
>> >>>>>>
>> >>>>>>
>> >>>>>> --
>> >>>>>> fad
>> >>>>>>
>> >>>>>> ahhata alati, awienta Wilushati
>> >>>>>>
>> >>>>>
>> >>>>>
>> >>>>>
>> >>>>> ----------------------------------------------------------------
>> >>>>> Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br
>> >>>>>
>> >>>>
>> >>>>
>> >>>>
>> >>>> --
>> >>>> fad
>> >>>>
>> >>>> ahhata alati, awienta Wilushati
>> >>>>
>> >>>
>> >>>
>> >>>
>> >>> --
>> >>> fad
>> >>>
>> >>> ahhata alati, awienta Wilushati
>> >>>
>> >>>
>> >>> _______________________________________________
>> >>> Logica-l mailing list
>> >>> Logica-l@dimap.ufrn.br
>> >>> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
>> >>>
>> >>>
>> >>
>> >
>> >
>> >
>> > ----------------------------------------------------------------
>> > Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br
>> >
>> > _______________________________________________
>> > Logica-l mailing list
>> > Logica-l@dimap.ufrn.br
>> > http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
>> >
>>
>>
>>
>> --
>> Marcelo Finger
>> Departamento de Ciencia da Computacao
>> Instituto de Matematica e Estatistica
>> Universidade de Sao Paulo
>> Rua do Matao, 1010
>> 05508-090 Sao Paulo, SP Brazil
>> Tel: +55 11 3091-9688, 3091-6135, 3091-6134 (fax)
>> http://www.ime.usp.br/~mfinger
>> _______________________________________________
>> Logica-l mailing list
>> Logica-l@dimap.ufrn.br
>> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
>>
>
>
>
> --
> fad
>
> ahhata alati, awienta Wilushati
>
----------------------------------------------------------------
Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br
_______________________________________________
Logica-l mailing list
Logica-l@dimap.ufrn.br
http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
