Olá Carlos e colegas, Também gosto dos cardinais inacessíveis, uma boa maneira de convencer alguém a gostar deles também é usar o argumento de "transcendência"...
Esse argumento é mais ou menos o seguinte: se tiramos o Axioma do Infinito de ZFC, podemos até mesmo incluir um Axioma do tipo "Todos os conjuntos sao finitos" e essa teoria fica consistente - basta cortar o universo no nível \omega da "Hierarquia Cumulativa" e temos lá um modelo disso. O argumento de transcendência é, sendo absurdamente reducionista, dizer que "assumir a existencia de inacessíveis é um ato de transcendência análogo ao de assumir a existência de conjuntos infinitos". Tipo - se já fizemos uma vez, qual o problema em se fazer de novo ? Para alguns teoristas de conjuntos, é uma maneira de estender ZFC "mais natural" que o forcing... Na verdade, o meu interesse maior é em trabalhar com fatos topológicos que nao podem ser discutidos sem incluir a presenca de inacessíveis na jogada, escrevi algo sobre isso nos Proceedings de Itatiaia 2006. http://jigpal.oxfordjournals.org/cgi/content/short/15/5-6/433 No entanto, acho que mais relacionado ao que estamos discutindo sao alguns resultados de Harvey Friedman nos quais "assercoes sobre conjuntos finitos" acabam sendo associados a grandes cardinais. Nunca pesquisei isso, mas me parece bem interessante. Lembremos também que a própria nocao de finitude nao fica suficientemente clara se retirarmos o Axioma da Escolha ! Perde-se a equivalência com a nocao de infinitude de Dedekind. Até mais, []s Samuel Quoting Carlos Gonzalez <gonza...@gmail.com>: > Olá Samuel, > > Além de Con(PA) poder ser provada em ZF, podemos trabalhar com teorias > mais fortes, como ZF + "existe um cardinal inacessível"=ZFI. > Trivialmente, Con(ZFI) implica Con(ZF). > > Em ZFI pode ser demonstrada Con(ZF), que é um enunciado aritmético > (com a numeração de Gödel) e que implica Con(PA). > > Se ZF é consistente, então Con(ZF) não implica Con(ZFI), de modo que a > consistência de ZFI é mais duvidosa que as outras mencionadas. > > Gödel tinha muitas esperanças nos grandes cardinais, mas depois de > muita pesquisa não se chegou a nenhum resultado amplamente aceito. > (Ver o trabalho de Gödel sobre a Hipótese do Contínuo.) > > Carlos > > Em 2 de agosto de 2010 20:58, Francisco Antonio Doria > <famado...@gmail.com> escreveu: >> Por exemplo: posso escrever explicitamente um conjunto de máquinas de Turing >> P tal que: >> >> ``as máquinas P são polinomiais'' >> é indecidível em ZFC, e não equivale à sentença de Gödel. >> 2010/8/2 Francisco Antonio Doria <famado...@gmail.com> >>> >>> Gentzen 36 equivale à sentença de Gödel, Samuel. Tem Kleene 36. Dá pra >>> fazer infinidades. >>> >>> 2010/8/2 <sam...@ufba.br> >>>> >>>> Olá Dória, >>>> >>>> Grato pela respostas também ! >>>> >>>> Eu já tinha percebido isso. Alguns autores chegam a chamar de "sentencas >>>> nao-godelianas" as sentencas aritméticas verdadeiras (no modelo standard) >>>> que nao podem ser demonstradas, indo pela ordem no tempo: >>>> >>>> - Gentzen 36 (Con(PA) por inducao sobre epsilon_zero) >>>> >>>> - Paris Harrington >>>> >>>> - Goodstein >>>> >>>> Tem um review do Smorynski sobre um livro de Smith (nao li o review >>>> inteiro mas li uns comentários do próprio Smith) no qual o >>>> Smorynski critica >>>> duramente o Smith por uma imprecisao histórica, pois o Smith no livro dele >>>> (Introduction to Godel Theorems) teria dito que o primeiro exemplo de uma >>>> "nao-Godeliana" seria Paris-Harrington, tendo se esquecido de >>>> Gentzen 36 (e >>>> de mais algumas coisas dos anos 50, nao me recordo agora). >>>> >>>> Até, >>>> >>>> []s Samuel >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> Quoting Francisco Antonio Doria <famado...@gmail.com>: >>>> >>>>> Cuidado que a sentença de Paris-Harrington ***não é*** equivalente a >>>>> Consis >>>>> PA. >>>>> >>>>> 2010/8/2 <sam...@ufba.br> >>>>> >>>>>> Olá a todos, >>>>>> >>>>>> Agradeco pelas respostas. A universidade aqui (estou no México) está >>>>>> em seu (extenso) recesso de verao, nao tinha ninguém pra bater bola, >>>>>> foi bom bater bola com voces. >>>>>> >>>>>> Walter: obrigado pelos comentários e pelo material. Seu aluno Anderson >>>>>> também me mandou alguma coisa, já o agradeci também. Vou comentar algo >>>>>> da sua resposta: >>>>>> >>>>>> >>>>>> Quoting Walter Carnielli <walter.carnie...@gmail.com>: >>>>>> >>>>>> > Caro Samuel: >>>>>> > >>>>>> > o que você levanta são questões profundamente interessantes. >>>>>> > >>>>>> > Envio a voce em separado (parece que a Lista não aceita o arquivo) >>>>>> > um prefácio de Robert Vaught sobre o "review" que Gödel publicou >>>>>> > sobre os trabalhos de Skolem de 1933 e 1934 (dos quais >>>>>> > Gödel diz que "são praticamente os mesmos"). Isso aparece nos >>>>>> > "Collected Works" vol I, editado S. Fefermann, pp. 376-379, que são >>>>>> > as páginas que envio. >>>>>> > >>>>>> > O texto contem a resenha que você procura, e ainda a importante >>>>>> > opinião de Vaught. >>>>>> > >>>>>> > Aparentemente Gödel não viu que a existência dos modelos não >>>>>> > standard >>>>>> > segue do Teorema da Compacidade (que ele mesmo demonstrou em 1930!). >>>>>> > Como Vaught nota na pag. 377, Gödel afirma que tais modelos >>>>>> > não-standard seguiriam do seu Teorema de Incompletude (o que não é >>>>>> > incorreto da maneira que Gödel coloca, mas não revela a razão >>>>>> > principal). >>>>>> > >>>>>> > Dou aí abaixo algumas opiniões sobre o que você pergunta (mas >>>>>> > não são mais que opiniões- não me considero nenhum "especialista" >>>>>> > sobre o assunto--de resto, parece que nem Gödel, nem Skolem o >>>>>> > eram...). >>>>>> > ************************************************************** >>>>>> > >>>>>> >>>>>> ----------> Pois é, é um assunto derrapante mesmo, como vc disse >>>>>> depois. >>>>>> >>>>>> >> "Suponha PA consistente. Entao, pelo Primeiro Teorema de >>>>>> >> Incompletude, >>>>>> >> PA nao prova a sentenca de Godel G. >>>>>> >> >>>>>> >> Segue que PA + ~G é consistente, logo, pelo Teorema da Completude >>>>>> >> para >>>>>> >> teorias de primeira ordem, tem modelo. >>>>>> >> >>>>>> >> Nesse modelo vale ~G. Entao esse modelo difere do modelo standard, >>>>>> >> no >>>>>> >> qual a sentenca de Godel G é verdadeira". >>>>>> >> >>>>>> > >>>>>> > >>>>>> > Sim, os modelos não- standard suportam essa situação perfeitamente >>>>>> > bem. >>>>>> > >>>>>> > ************************************************************** >>>>>> >> >>>>>> >> Apresento algumas questoes, nao sei se elas sao "bobagem" ou nao... >>>>>> >> >>>>>> >> 1) Alguém sabe se este é o argumento de Gödel na tal resenha, ou se >>>>>> >> ele usou esse argumento depois ? >>>>>> > >>>>>> > >>>>>> > Não usou, e acho (mas não tenho certeza) que Gödel nunca usou >>>>>> > este argumento. Mas nos trabalhos contemporâneos acredito que isso >>>>>> > já seja "folclore". >>>>>> > >>>>>> >>>>>> ------------> Estou sem o meu Kleene aqui, mas na página 377 do Review >>>>>> que vc me mandou o Vaught diz que na página 430 do Kleene tem um >>>>>> comentário sobre o argumento de Gödel, e penso que deve ser algo >>>>>> parecido mesmo, pegar uma A nao provável, olhar para consistencia de >>>>>> PA + ~A e aplicar completude. >>>>>> >>>>>> Mesmo pensando em termos do modelo standard, o Francicleber me mandou >>>>>> uma mensagem (a qual também agradeco) lembrando que nao há porque se >>>>>> preocupar só com a sentenca de Gödel, pois para qualquer A que nao >>>>>> seja demonstrável, teremos uma entre A, ~A será válida no modelo >>>>>> standard, e assim teremos uma fórmula válida no modelo standard que >>>>>> nao será consequencia sintática de PA e que portanto nao vale em todos >>>>>> os modelos, garantindo a existencia dos modelos nao-standard (mas >>>>>> passando pelo Teorema da Completude...). >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >> >>>>>> >> 2) Usualmente se diz que "G é verdadeira e nao pode ser >>>>>> >> demonstrada". >>>>>> >> Bem, G é (facilmente) equivalente à consistência de PA (o que >>>>>> >> inclusive já prova o Segundo Teorema de Incompletude). >>>>>> >> >>>>>> >> Muitas vezes se diz que "G é verdadeira no modelo standard" (isso >>>>>> >> aparece inclusive no argumento que eu destaquei acima). Essa >>>>>> >> afirmacao é >>>>>> >> intuitiva ou pode ser mesmo formalizada ? >>>>>> > >>>>>> > Sim, pode ser verificada no modelo standard. >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> --------> Nao achei nenhuma boa referencia sobre isso, mas deu pra >>>>>> entender que a argumentacao usa a nocao de "truth-in-a-model"... >>>>>> Essencialmente, a codificacao de Gödel é em cima dos naturais >>>>>> standard, e depois de feita a prova, olhamos para as codificacoes e >>>>>> checamos que uma certa fórmula com quantificador vale no modelo >>>>>> standard (como é semântico, "basta olhar", se fosse sintático teria >>>>>> que aparecer algo como \omega-consistência). Essa fórmula é G. OK. >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> > >>>>>> >> (sobre esse problema eu vi que se tem uma discussao filosófica >>>>>> >> interessante, "saber" (ou "ser capaz de deduzir que") que a sentenca >>>>>> >> G >>>>>> >> é verdadeira seria uma prova de que a mente humana supera os >>>>>> >> computadores, isso seria um tal argumento de Lucas/Penrose...) >>>>>> > >>>>>> > >>>>>> > Mas essa é outra questão-- a propósito, dê uma olhada em: >>>>>> > >>>>>> > "Why is the Lucas-Penrose Argument Invalid?" Manfred Kerber, >>>>>> > http://www.cs.bham.ac.uk/~mmk/papers/05-KI.html >>>>>> > >>>>>> >>>>>> >>>>>> --------> Essa questao do argumento de Lucas\Penrose, eu já tinha >>>>>> visto que era bem polêmica... Vou ler esse artigo que vc me indicou. >>>>>> Trombei na internet com um artigo do Shapiro de nome engracado, >>>>>> tratando nao exatamente disso mas de algo relacionado: "A sentenca de >>>>>> Godel é verdadeira - mas alguém mudou de assunto ?" >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >> 3)(e aqui uma pergunta que se alguém me fizer hoje eu nao sei >>>>>> >> responder) >>>>>> >> >>>>>> >> A sentenca de Godel G é equivalente a Con(PA). Assim, se eu assumo >>>>>> >> Con(PA), estou assumindo que G é verdadeira. Ela nao deveria entao >>>>>> >> ser >>>>>> >> verdadeira em todos os modelos de PA ? Como fica o argumento acima >>>>>> >> para modelos nao-standard ? >>>>>> > >>>>>> > Se eu entendi bem questão (essas coisas são derrapantes), tudo >>>>>> > isso vale para o modelo standard de PA. Para os não -standard, >>>>>> > seria >>>>>> > outra coisa. Mas não há nada de chocante nisso (pelo menos como eu >>>>>> > vejo). >>>>>> > >>>>>> >>>>>> >>>>>> ------> É, aqui eu dei uma derrapda, por falta de experiencia de >>>>>> trabalhar com PA (faco argumentos do tipo para ZFC e nunca tive >>>>>> problema nenhum !). Como PA nao prova Con(PA), entao, como a >>>>>> aritmética, apesar de ser sintaticamente incompleta, é semanticamente >>>>>> completa, nao vai ter Con(PA) válida em todos os seus modelos. >>>>>> Tranquilo. Devo estar entre os que pensam no Teorema da Completude >>>>>> como sendo para LÓGICAS de primeira ordem, sendo que podemos enunciar >>>>>> para TEORIAS de primeira ordem... Simplesmente, esqueci de aplicar >>>>>> Completude quando fiz a pergunta (3) !!! >>>>>> >>>>>> "Assumir a consistencia de PA" nao é uma frase "cataclismica" que muda >>>>>> a compreensao das coisas, só equivale a dizer que uma certa fórmula >>>>>> (ou string de números...) está sendo suposta verdadeira. "Assumir a >>>>>> consistencia de PA" é "Estamos trabalhando num modelo onde a sentenca >>>>>> de Godel é satisfeita". >>>>>> >>>>>> Como disse, estou sempre fazendo isso em ZFC. Existem muitas assercoes >>>>>> matemáticas equivalente a CH (Hipótese do Contínuo) - uma simples e >>>>>> que estou fazendo propaganda é a seguinte: "Se do plano R^2 retiramos >>>>>> um conjunto de tamanho aleph_1, o que resta é um conjunto simplesmente >>>>>> conexo". "Assumir CH" nao faz com que essa frase sobre o R^2 seja >>>>>> verdadeira, "Assumir CH" é trabalhar num modelo em que CH vale (e essa >>>>>> frase sobre o plano também). >>>>>> >>>>>> >>>>>> > Estou trabalhando na questão da consistência, preparando um artigo >>>>>> > para os "Proceedings" do evento "CLE/AIPS - Science, Truth and >>>>>> > Consistency" (em homenagem >>>>>> > aos 80 anos do Newton) . Minha proposta, mas isso leva uma 25 >>>>>> > páginas, é que há tantas noções de "consistência" que o conceito >>>>>> > axiomatizado (como nas LFI's) deveria ser levado a sério, e teria >>>>>> > talvez até modelos não standard! >>>>>> > >>>>>> > >>>>>> >>>>>> ------> Bom, depois gostaremos todos de ter acesso ao trabalho ! >>>>>> A nocao de "consistencia nao-standard" deve ser interessante... Grato, >>>>>> Walter. >>>>>> >>>>>> >>>>>> Décio: meio sem querer, durante a preparacao dessa minha palestra, eu >>>>>> acabei me preocupando com essas questoes do tipo que vc levantou, "as >>>>>> más interpretacoes" do Teorema da Incompletude. Fora as questoes mais >>>>>> óbvias, aplicando incompletude para a Bíblia ou para a Constituicao, >>>>>> existem outras mais sutis. >>>>>> >>>>>> Por exemplo, uma frase que eu já falei para os meus alunos e que nao >>>>>> está errada, mas dá a entender algo que nao é lá muito correto: >>>>>> >>>>>> "O Teorema da Incompletude mostra que existem questoes matemática >>>>>> indecidíveis, como por exemplo a Hipótese do Contínuo" >>>>>> >>>>>> Bem, tem que se tomar cuidado aí. O Teorema da Incompletude mostra que >>>>>> existem questoes *aritméticas* indecidíveis. Claro que sao questoes >>>>>> matemáticas, mas usar a Hipótese do Contínuo como exemplo pode dar a >>>>>> entender que a indecidibilidade da Hipótese do Contínuo (CH) seria um >>>>>> "corolário da demonstracao" dos teoremas de incompletude, o que nao é >>>>>> o caso (a consistencia >>>>>> de CH veio da construcao do modelo construtível, e a de ~CH veio da >>>>>> invencao do método de forcing). >>>>>> >>>>>> Tem um livro recente do Torkel Franzen, "Incomplete guide for use and >>>>>> abuse...etc.", acredito que o Walter conhece este livro, assim como >>>>>> outros colegas também... Nesse livro o autor (que aparentemente >>>>>> morreu há pouco) faz comentários bastante interessantes sobre este >>>>>> tipo de problemas. Os teoremas da incompletude nao impedem que alguém >>>>>> faca uma teoria sobre números e fantasmas que seja sintaticamente >>>>>> completa no que se refere a... fantasmas. >>>>>> >>>>>> Antes de me despedir, levanto uma outra questao, já que falei no >>>>>> Torkel Franzen: >>>>>> >>>>>> Ele tem uma visao interessante sobre o que é dizer que uma assercao >>>>>> (aritmética) A é verdadeira. >>>>>> >>>>>> Ele diz que "A é verdadeira" é equivalente ao... enunciado de A. >>>>>> >>>>>> Por exemplo, "A Conjectura de Goldbach é verdadeira" é equivalente a >>>>>> "Todo par maior do que 2 é soma de dois primos". Pronto, acabou, é uma >>>>>> afirmacao sobre números naturais. >>>>>> >>>>>> OK, legal, mas concordam que ele está se referindo ao modelo standard >>>>>> ? Que na verdade ele está se referindo a naturais standard ? >>>>>> >>>>>> Pelo que percebi, isso acontece também quando se discutem teoremas >>>>>> como o de Paris-Harrington e o de Goodstein: dizer que "uma afirmacao >>>>>> é verdadeira e nao pode ser demonstrada" é dizer que "uma afirmacao é >>>>>> verdadeira no modelo standard e nao pode ser demonstrada". >>>>>> >>>>>> Aí eu pergunto aos colegas: é consenso entre os filósofos da matemática >>>>>> que >>>>>> >>>>>> fato aritmético verdadeiro = fato aritmético verdadeiro no modelo >>>>>> standard >>>>>> ? >>>>>> >>>>>> Se sim, acho que é por aí a nocao do Torkel Franzen. >>>>>> >>>>>> Até mais, >>>>>> >>>>>> []s Samuel >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> ---------------------------------------------------------------- >>>>>> Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br >>>>>> >>>>>> _______________________________________________ >>>>>> Logica-l mailing list >>>>>> Logica-l@dimap.ufrn.br >>>>>> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l >>>>>> >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> fad >>>>> >>>>> ahhata alati, awienta Wilushati >>>>> >>>> >>>> >>>> >>>> ---------------------------------------------------------------- >>>> Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br >>>> >>> >>> >>> >>> -- >>> fad >>> >>> ahhata alati, awienta Wilushati >>> >> >> >> >> -- >> fad >> >> ahhata alati, awienta Wilushati >> >> >> _______________________________________________ >> Logica-l mailing list >> Logica-l@dimap.ufrn.br >> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l >> >> > ---------------------------------------------------------------- Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br _______________________________________________ Logica-l mailing list Logica-l@dimap.ufrn.br http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
