Bom dia! Obrigado! Encontrei uma demonstração, mas não tive bagavem para enrender. Vou ler as publicações.
Saudações, PJMS Em sáb, 4 de mai de 2019 11:57, Anderson Torres < [email protected] escreveu: > Em seg, 29 de abr de 2019 às 16:38, Pedro José <[email protected]> > escreveu: > > > > Boa tarde! > > Pelo menos consegui descobrir que se um inteiro z >= não puder ser > escrito da forma z=4^k (8m+7), com m,k >=0 e m,k inteiros então ele pode > ser representado por uma soma de três parcelas, todas quadrados perfeitos. > > Já a demonstração, não consegui compreender. > > > > Essa é a parte chata. Mas tem paper pra caramba! > > https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_three-square_theorem > Legendre's three-square theorem - Wikipedia > https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022314X74900249 > A new proof of the three squares theorem - ScienceDirect > https://brilliant.org/wiki/fermats-sum-of-two-squares-theorem/ > Sum of Squares Theorems | Brilliant Math & Science Wiki > > https://mathoverflow.net/questions/223939/proving-legendres-sum-of-3-squares-theorem-via-geometry-of-numbers > nt.number theory - Proving Legendre's Sum of 3 Squares Theorem via > Geometry of Numbers - MathOverflow > https://core.ac.uk/download/pdf/82306476.pdf > PII: 0022-314X(74)90024-9 - 82306476.pdf > > https://www.ams.org/journals/proc/1957-008-02/S0002-9939-1957-0085275-8/S0002-9939-1957-0085275-8.pdf > S0002-9939-1957-0085275-8.pdf > http://pollack.uga.edu/finding3squares-6.pdf > finding3squares-6.pdf > https://arxiv.org/pdf/0812.0540.pdf > () - 0812.0540.pdf > > > > > Saudações, > > PJMS > > > > Em seg, 29 de abr de 2019 às 14:14, <[email protected]> escreveu: > >> > >> > >> Em 29 de abr de 2019 11:37, Pedro José <[email protected]> escreveu: > >> > >> Bom dia! > >> > >> Gostei desse problema. Fiz um montão de exemplos com números que não > podem ser escritos como 4^n(8n+7) e todos puderam ser escritos como a soma > de três quadrados. > >> Vale para todos? Se sim, alguém poderia indicar uma demonstração? > >> > >> Saudações, > >> PJMS > >> > >> Em dom, 7 de abr de 2019 às 16:16, Pedro José <[email protected]> > escreveu: > >> > >> Boa tarde! > >> Fiquei na dúvida se algoritmo valia para demonstração. Mas salvo engano > para demonstração de quais números aceitam raízes primitivas usa-se > algoritmo. > >> Mas, agora com mais calma, poderia ter usado indução. > >> 1) Foi provado que não vale para n=0. > >> 2) Supondo que não vale para n, não valeria para n+1, por absurdo. > Pois, se valesse, teria que valer para n. > >> Creio que teria ficado mais elegante. > >> > >> Saudações, > >> PJMS > >> > >> > >> Em dom, 7 de abr de 2019 às 07:41, matematica10complicada < > [email protected]> escreveu: > >> > >> Obrigado irmão. Está correto sim. > >> Douglas O. > >> > >> Em qui, 4 de abr de 2019 às 19:44, Pedro José <[email protected]> > escreveu: > >> > >> Boa noite! > >> Estou mal, mesmo. Ao invés de nenhum li qualquer. Tinha simulado dois, > três, quatro e deram fora, já iria questionar. > >> Mas vamos lá: > >> 0^2 = 0 mod8; 1^2 = 1 mod8; 2^2 = 4 mod8 3^2= 1 mod8; 4^2 = 0 mod 8; > 5^2 = 1 mod 8 6^2 = 4 mod 8 e 7^2 = 1 mod8; > >> Portanto o quadrado de um número, ou dá 0 ou da 1 ou 4 na equivalência > mod8. > >> > >> Caso n=0 ==> x=8k+7= 7 mod8. Como mod conserva a soma, não há como > somar 3 parcelas do conjunto, mesmo com repetição, {0,1,4} e obter 7. Então > n>0 > >> > >> Para n>0 > >> x = 4^n*(8K+7) ==> x pertence a 2 |N seja x = a^2 + b^2 + c^2 com a, b, > c pertencentes a |N - {0}. teríamos que ter a,b,c pares ou um deles par e > dois ímpares. > >> mas 4 | x ==> x= 0 mod4. Mas se w pertence a 2|N + 1 ==> w^2 = 1 mod4. > e se y pertence a 2 |N ==> y^2 = 0 mod 4. Como temos dois ímpares e um par > e como a soma se conserva temos que x = 2 mod4, absurdo. Portanto só sobra > a, b, c pares Se a,b,c pares podemos escrevê-los como a= 2s; b=2t e c=2u > com s,t,u naturais. > >> x = a^2+b^2+c^2= 4(s^2+t^2+u^2) ==> x1 = 4^(n-1) * (8m+7) = s^2+t^2+u^2 > e vale o mesmo raciocínio de que s,t,u são pares e poderão ser escritos > como s=2f; t=2g; u= 2h, com f, g, h naturais e seguir nesse algoritmo até > que tenhamos xj=4^0(8m+7)= p^2+q^2+r^2, absurdo. Pois, já vimos que n= 0 > não atende. > >> > >> Espero estar correto. > >> > >> Saudações. > >> > >> > >> > >> > >> > >> Em qua, 3 de abr de 2019 às 15:36, matematica10complicada < > [email protected]> escreveu: > >> > >> Mostre que nenhum número da forma (4^n)(8k+7) , com n e k naturais pode > ser escrito como soma de 3 tres quadrados > >> > >> Douglas Oliveira > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
