Em seg, 29 de abr de 2019 às 16:38, Pedro José <[email protected]> escreveu: > > Boa tarde! > Pelo menos consegui descobrir que se um inteiro z >= não puder ser escrito da > forma z=4^k (8m+7), com m,k >=0 e m,k inteiros então ele pode ser > representado por uma soma de três parcelas, todas quadrados perfeitos. > Já a demonstração, não consegui compreender. >
Essa é a parte chata. Mas tem paper pra caramba! https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_three-square_theorem Legendre's three-square theorem - Wikipedia https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022314X74900249 A new proof of the three squares theorem - ScienceDirect https://brilliant.org/wiki/fermats-sum-of-two-squares-theorem/ Sum of Squares Theorems | Brilliant Math & Science Wiki https://mathoverflow.net/questions/223939/proving-legendres-sum-of-3-squares-theorem-via-geometry-of-numbers nt.number theory - Proving Legendre's Sum of 3 Squares Theorem via Geometry of Numbers - MathOverflow https://core.ac.uk/download/pdf/82306476.pdf PII: 0022-314X(74)90024-9 - 82306476.pdf https://www.ams.org/journals/proc/1957-008-02/S0002-9939-1957-0085275-8/S0002-9939-1957-0085275-8.pdf S0002-9939-1957-0085275-8.pdf http://pollack.uga.edu/finding3squares-6.pdf finding3squares-6.pdf https://arxiv.org/pdf/0812.0540.pdf () - 0812.0540.pdf > Saudações, > PJMS > > Em seg, 29 de abr de 2019 às 14:14, <[email protected]> escreveu: >> >> >> Em 29 de abr de 2019 11:37, Pedro José <[email protected]> escreveu: >> >> Bom dia! >> >> Gostei desse problema. Fiz um montão de exemplos com números que não podem >> ser escritos como 4^n(8n+7) e todos puderam ser escritos como a soma de três >> quadrados. >> Vale para todos? Se sim, alguém poderia indicar uma demonstração? >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em dom, 7 de abr de 2019 às 16:16, Pedro José <[email protected]> escreveu: >> >> Boa tarde! >> Fiquei na dúvida se algoritmo valia para demonstração. Mas salvo engano para >> demonstração de quais números aceitam raízes primitivas usa-se algoritmo. >> Mas, agora com mais calma, poderia ter usado indução. >> 1) Foi provado que não vale para n=0. >> 2) Supondo que não vale para n, não valeria para n+1, por absurdo. Pois, se >> valesse, teria que valer para n. >> Creio que teria ficado mais elegante. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> Em dom, 7 de abr de 2019 às 07:41, matematica10complicada >> <[email protected]> escreveu: >> >> Obrigado irmão. Está correto sim. >> Douglas O. >> >> Em qui, 4 de abr de 2019 às 19:44, Pedro José <[email protected]> escreveu: >> >> Boa noite! >> Estou mal, mesmo. Ao invés de nenhum li qualquer. Tinha simulado dois, três, >> quatro e deram fora, já iria questionar. >> Mas vamos lá: >> 0^2 = 0 mod8; 1^2 = 1 mod8; 2^2 = 4 mod8 3^2= 1 mod8; 4^2 = 0 mod 8; 5^2 = 1 >> mod 8 6^2 = 4 mod 8 e 7^2 = 1 mod8; >> Portanto o quadrado de um número, ou dá 0 ou da 1 ou 4 na equivalência mod8. >> >> Caso n=0 ==> x=8k+7= 7 mod8. Como mod conserva a soma, não há como somar 3 >> parcelas do conjunto, mesmo com repetição, {0,1,4} e obter 7. Então n>0 >> >> Para n>0 >> x = 4^n*(8K+7) ==> x pertence a 2 |N seja x = a^2 + b^2 + c^2 com a, b, c >> pertencentes a |N - {0}. teríamos que ter a,b,c pares ou um deles par e dois >> ímpares. >> mas 4 | x ==> x= 0 mod4. Mas se w pertence a 2|N + 1 ==> w^2 = 1 mod4. e se >> y pertence a 2 |N ==> y^2 = 0 mod 4. Como temos dois ímpares e um par e como >> a soma se conserva temos que x = 2 mod4, absurdo. Portanto só sobra a, b, c >> pares Se a,b,c pares podemos escrevê-los como a= 2s; b=2t e c=2u com s,t,u >> naturais. >> x = a^2+b^2+c^2= 4(s^2+t^2+u^2) ==> x1 = 4^(n-1) * (8m+7) = s^2+t^2+u^2 e >> vale o mesmo raciocínio de que s,t,u são pares e poderão ser escritos como >> s=2f; t=2g; u= 2h, com f, g, h naturais e seguir nesse algoritmo até que >> tenhamos xj=4^0(8m+7)= p^2+q^2+r^2, absurdo. Pois, já vimos que n= 0 não >> atende. >> >> Espero estar correto. >> >> Saudações. >> >> >> >> >> >> Em qua, 3 de abr de 2019 às 15:36, matematica10complicada >> <[email protected]> escreveu: >> >> Mostre que nenhum número da forma (4^n)(8k+7) , com n e k naturais pode ser >> escrito como soma de 3 tres quadrados >> >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
