Em qui, 23 de ago de 2018 às 20:26, Pedro José <[email protected]> escreveu: > > Boa noite! > > Eu tinha caminhado em um caminho mais longo e empacado. Mas se pensasse em > provar por absurdo teria chegado a solução. > > Se o produto dos divisores de dois números são iguais, os de divisores > positivos também o são e vale o recíproco. Portanto só serãoconsiderados os > positivos. > Fatorando n, n= Produtório(1,j)pi^ai > Fatorando m, m= Produtório (1,k)p'i^bi > Como o produto dos divisores de m é igual ao produto dos divisores de n, como > a fatoração é única, a menos da ordenação, temos que que k=j e pi=p'i (se > ordenarmos de mesma forma os diversos p e p'. > Nos divisores de n, o expoente de pi, poderá ser: 0, 1, 2, 3....ai, então > para cada pi há (ai+1) opções de expoentes. > Portanto, no produto de todos os divisores de m o expoente do primo pi será: > (1+2+3+...ai)* Produtório (1,k), q<>i (aq+1) > Já nos de m, será: (1+2+3+...bi)* Produtório (1,k), q<>i (bq+1), como os > expoentes de pi deverão ser iguais, pelo princípio da fatoração única. > a1(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = b1(b1+1)(b2+1)...(bk-1+1)(bk+1) > a2(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = b2(b1+1)(b2+1)...(bk-1+1)(bk+1) > a3(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = b3(b1+1)(b2+1)...(bk-1+1)(bk+1) > . > . > . > ak(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = bk(b1+1)(b2+2)...(bk-1+1)(bk+1) > O que levaria a ai/bi é constante para 0<i<=k. > Aí é só usar o princípio do absurdo. Só que havia empacado. > Por isso questionara se a relação entre as soma dos termos de duas sequências > é igual a relaçãode seus produtos, garantiriam que a sequências são iguais. > Cheguei perto e morri na praia. > Sendo um pouco ranheta, se não há restrições, não devemos criá-las. O fato de > m e n serem positivos, não implica que seus divisores o sejam. Embora a > restrição não interfira em nada a solução.
Sendo eu mesmo um tanto mais ranheta: 1 - O problema não sugere em momento algum que se tenha que levar em conta divisores negativos. É uma interpretação bastante natural lidar somente com os positivos, mesmo porque os divisores negativos são simplesmente os positivos vezes (-1). 2 - Se "não devemos criar restrições", o que nos impede então de tratar essa questão nos Inteiros de Gauss? O fato de que cada termo primo da forma 4k+1 "refatora" em um produto de caras da forma (a+bi)(a-bi)? Ou o fato de que temos que lidar com quatro unidades? > Bela solução. > Saudações, > PJMS > > > Em qua, 22 de ago de 2018 às 15:48, Pedro José <[email protected]> escreveu: >> >> Boa tarde! >> >> Anderson Torres, >> >> Sua conjectura só vale se o número não é quadrado perfeito. >> >> Seja D= {-d1, -d2,-d3...,-dn-1, -dn, d1,d2, d3,...,dn-1,dn} o conjunto de >> divisores de um número m, que não seja quadrado perfeito. Então teremos que >> n é par. >> Se m= Produtório(i,k) pi^ai, com pi primo, ou seja, fatoração. O número de >> divisores positivos será ND+(m)=Produtório(i,k) (ai+1). >> Portanto, se for um quadrado perfeito todos ai são pares e então (ai+1) é >> ímpar sempre e ND+(m) será ímpar. Caso não seja quadrado perfeito, haverá >> pelo menos um ai ímpar e portanto, pelo menos um (ai+1) par, que garantirá >> ND+(m) par. >> Se di<raiz(m), existirá um dj >raiz(m) de modo que di.dj=m. >> Então quando você percorrer todos os di < raiz(m) você também percorrerá >> todos os dj> raiz(m). Pois, se sobrar um dj> raiz(m) teríamos ainda um di= >> m/dj, que não foi contato, absurdo, >> Portanto o produto de todos os divisores positivos dá m^(ND+(m)/2) >> Usando o mesmo conceito para os negativos teremos o produto de todos >> divisores negativos = m^(ND-(m)/2) >> Existe uma bijeção entre os conjuntos de divisores positivos e negativos, >> pois se d é divisor de m -d é divisor de m, então ND-(m)=ND+(m)=ND(m)/2 ==> >> O produto de todos os divisores dará m^(ND(m)/2), como proposto por você. >> Não obstante se m for um quadrado perfeito, dará -m^(ND(m)/2), >> >> Então o resultado coreto para o produto de todos os divisores de m é >> (-m)^(ND(m)/2). >> Mas acho pouco ainda para provar o proposto no problema original. >> >> Saudações, >> PJMS. >> >> Em qua, 22 de ago de 2018 às 00:41, Anderson Torres >> <[email protected]> escreveu: >>> >>> Em dom, 19 de ago de 2018 às 19:17, Artur Steiner >>> <[email protected]> escreveu: >>> > >>> > Acho este interessante. Gostaria de ver a solução dos colegas. >>> > >>> > Sendo m e n inteiros positivos, tanto (1) quanto (2) implicam que m = n. >>> > >>> > (1) O produto dos divisores de m iguala-se ao produto dos divisores de n. >>> > >>> > (2) m e n são compostos e os produtos de seus divisores, excluindo-se m e >>> > n, são iguais. >>> > >>> > Artur Costa Steiner >>> >>> Fato de alguma importância: se ND(n) é o número de divisores de n, >>> então o produto dos divisores é n^(ND(n)/2). >>> >>> Agora, como provar que isso aí é bijetivo, tá difisso. >>> >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> ========================================================================= >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> ========================================================================= > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
