Boa tarde!
Anderson Torres,
Sua conjectura só vale se o número não é quadrado perfeito.
Seja D= {-d1, -d2,-d3...,-dn-1, -dn, d1,d2, d3,...,dn-1,dn} o conjunto de
divisores de um número m, que não seja quadrado perfeito. Então teremos que
n é par.
Se m= Produtório(i,k) pi^ai, com pi primo, ou seja, fatoração. O número de
divisores positivos será ND+(m)=Produtório(i,k) (ai+1).
Portanto, se for um quadrado perfeito todos ai são pares e então (ai+1) é
ímpar sempre e ND+(m) será ímpar. Caso não seja quadrado perfeito, haverá
pelo menos um ai ímpar e portanto, pelo menos um (ai+1) par, que garantirá
ND+(m) par.
Se di<raiz(m), existirá um dj >raiz(m) de modo que di.dj=m.
Então quando você percorrer todos os di < raiz(m) você também percorrerá
todos os dj> raiz(m). Pois, se sobrar um dj> raiz(m) teríamos ainda um di=
m/dj, que não foi contato, absurdo,
Portanto o produto de todos os divisores positivos dá m^(ND+(m)/2)
Usando o mesmo conceito para os negativos teremos o produto de todos
divisores negativos = m^(ND-(m)/2)
Existe uma bijeção entre os conjuntos de divisores positivos e negativos,
pois se d é divisor de m -d é divisor de m, então ND-(m)=ND+(m)=ND(m)/2 ==>
O produto de todos os divisores dará m^(ND(m)/2), como proposto por você.
Não obstante se m for um quadrado perfeito, dará -m^(ND(m)/2),
Então o resultado coreto para o produto de todos os divisores de m é
(-m)^(ND(m)/2).
Mas acho pouco ainda para provar o proposto no problema original.
Saudações,
PJMS.
Em qua, 22 de ago de 2018 às 00:41, Anderson Torres <
[email protected]> escreveu:
> Em dom, 19 de ago de 2018 às 19:17, Artur Steiner
> <[email protected]> escreveu:
> >
> > Acho este interessante. Gostaria de ver a solução dos colegas.
> >
> > Sendo m e n inteiros positivos, tanto (1) quanto (2) implicam que m = n.
> >
> > (1) O produto dos divisores de m iguala-se ao produto dos divisores de n.
> >
> > (2) m e n são compostos e os produtos de seus divisores, excluindo-se m
> e n, são iguais.
> >
> > Artur Costa Steiner
>
> Fato de alguma importância: se ND(n) é o número de divisores de n,
> então o produto dos divisores é n^(ND(n)/2).
>
> Agora, como provar que isso aí é bijetivo, tá difisso.
>
> >
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> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
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