Em qua, 22 de ago de 2018 às 16:02, Pedro José <[email protected]> escreveu: > > Boa tarde! > > Anderson Torres, > > Sua conjectura só vale se o número não é quadrado perfeito. > > Seja D= {-d1, -d2,-d3...,-dn-1, -dn, d1,d2, d3,...,dn-1,dn} o conjunto de > divisores de um número m, que não seja quadrado perfeito. Então teremos que n > é par.
Mas o problema fala de inteiros positivos. Não tenho razões para supor que se tratam de todos os divisores inteiros, incluindo os negativos. Mesmo porque multiplicação por unidade "não acrescenta informação". > Se m= Produtório(i,k) pi^ai, com pi primo, ou seja, fatoração. O número de > divisores positivos será ND+(m)=Produtório(i,k) (ai+1). > Portanto, se for um quadrado perfeito todos ai são pares e então (ai+1) é > ímpar sempre e ND+(m) será ímpar. Caso não seja quadrado perfeito, haverá > pelo menos um ai ímpar e portanto, pelo menos um (ai+1) par, que garantirá > ND+(m) par. > Se di<raiz(m), existirá um dj >raiz(m) de modo que di.dj=m. > Então quando você percorrer todos os di < raiz(m) você também percorrerá > todos os dj> raiz(m). Pois, se sobrar um dj> raiz(m) teríamos ainda um di= > m/dj, que não foi contato, absurdo, > Portanto o produto de todos os divisores positivos dá m^(ND+(m)/2) > Usando o mesmo conceito para os negativos teremos o produto de todos > divisores negativos = m^(ND-(m)/2) > Existe uma bijeção entre os conjuntos de divisores positivos e negativos, > pois se d é divisor de m -d é divisor de m, então ND-(m)=ND+(m)=ND(m)/2 ==> O > produto de todos os divisores dará m^(ND(m)/2), como proposto por você. > Não obstante se m for um quadrado perfeito, dará -m^(ND(m)/2), > > Então o resultado coreto para o produto de todos os divisores de m é > (-m)^(ND(m)/2). > Mas acho pouco ainda para provar o proposto no problema original. > > Saudações, > PJMS. > > Em qua, 22 de ago de 2018 às 00:41, Anderson Torres > <[email protected]> escreveu: >> >> Em dom, 19 de ago de 2018 às 19:17, Artur Steiner >> <[email protected]> escreveu: >> > >> > Acho este interessante. Gostaria de ver a solução dos colegas. >> > >> > Sendo m e n inteiros positivos, tanto (1) quanto (2) implicam que m = n. >> > >> > (1) O produto dos divisores de m iguala-se ao produto dos divisores de n. >> > >> > (2) m e n são compostos e os produtos de seus divisores, excluindo-se m e >> > n, são iguais. >> > >> > Artur Costa Steiner >> >> Fato de alguma importância: se ND(n) é o número de divisores de n, >> então o produto dos divisores é n^(ND(n)/2). >> >> Agora, como provar que isso aí é bijetivo, tá difisso. >> >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
