Pra quem se interessa por polinômios complexos e suas raízes, aqui vão dois teoremas muito legais e razoavelmente bem conhecidos (demonstrações são facilmente achadas via Google. Mas, é claro, tentar demonstrá-los é um belo exercício - obs: o segundo é bem mais difícil, pelo menos eu acho):
1) Teorema de Gauss-Lucas: o fecho convexo das raízes de um polinômio contém as raízes da derivada do polinômio. (dica pra quem quiser tentar a demonstração: expresse p'(z)/p(z) como soma de termos da forma 1/(z - a_i), onde a_i é raiz de p, e depois use conjugação). 2) Teorema de Marden: as raízes de um polinômio cúbico são, em geral, vértices de um triângulo no plano complexo (em que situação as raízes são colineares?). Neste caso, as raízes da derivada deste polinômio são os focos da única (exercício: provar a unicidade) elipse inscrita neste triângulo e tangente aos lados em seus pontos médios. Esta elipse se chama a inelipse de Steiner do triângulo. Exemplo simples: z^3 - 1. Os vértices do triângulo são as raízes cúbicas da unidade. A inelipse de Steiner é, de fato, o incírculo, cujo cetro é z = 0 (raiz dupla da derivada). Acabou de me ocorrer que qualquer triângulo no plano pode ser levado, por uma transformação afim adequada, no triângulo cujos vértices são 1, w e w^2 (w = exp(i*2*pi/3) ), e que transformações afins preservam tangência, pontos médios e elipses (das quais os círculos são um caso particular). Será que isso ajuda a provar o teorema de Marden? []s, Claudio. 2018-03-24 20:13 GMT-03:00 Carlos P. <[email protected]>: > Boa noite! > > Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos > sobre o TFA. > > 1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de > polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções inteiras tais que lim > z ---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se igualmente a qualquer > inteira f tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? Não está restrito a > polinômios. > > 2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a existência de > raízes, mostre que há exatamente n raízes, contando suas ordens? Me > informaram que há uma > > Muito obrigado > > Carlos > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
