Em 28 de março de 2018 07:39, Anderson Torres <[email protected]> escreveu: > Em 27 de março de 2018 21:04, Claudio Buffara > <[email protected]> escreveu: >> Pra quem se interessa por polinômios complexos e suas raízes, aqui vão dois >> teoremas muito legais e razoavelmente bem conhecidos (demonstrações são >> facilmente achadas via Google. Mas, é claro, tentar demonstrá-los é um belo >> exercício - obs: o segundo é bem mais difícil, pelo menos eu acho): >> >> 1) Teorema de Gauss-Lucas: o fecho convexo das raízes de um polinômio contém >> as raízes da derivada do polinômio. >> (dica pra quem quiser tentar a demonstração: expresse p'(z)/p(z) como soma >> de termos da forma 1/(z - a_i), onde a_i é raiz de p, e depois use >> conjugação). >> >> 2) Teorema de Marden: as raízes de um polinômio cúbico são, em geral, >> vértices de um triângulo no plano complexo (em que situação as raízes são >> colineares?). Neste caso, as raízes da derivada deste polinômio são os focos >> da única (exercício: provar a unicidade) elipse inscrita neste triângulo e >> tangente aos lados em seus pontos médios. Esta elipse se chama a inelipse de >> Steiner do triângulo. >> >> Exemplo simples: z^3 - 1. Os vértices do triângulo são as raízes cúbicas da >> unidade. A inelipse de Steiner é, de fato, o incírculo, cujo cetro é z = 0 >> (raiz dupla da derivada). >> >> Acabou de me ocorrer que qualquer triângulo no plano pode ser levado, por >> uma transformação afim adequada, no triângulo cujos vértices são 1, w e w^2 >> (w = exp(i*2*pi/3) ), e que transformações afins preservam tangência, pontos >> médios e elipses (das quais os círculos são um caso particular). Será que >> isso ajuda a provar o teorema de Marden? > > E a parte das propriedades da inelipse? Isso fica meio que perdido, > afinal transformações afins não costumam respeitar nada além da > "figura exterior"; tanto que os focos da elipse "colapsam" no > incentro. > > Mas a ideia parece salvável. E se jogássemos, mediante homotetias, as > raízes da derivada no eixo X, de modo a ter raízes bonitinhas - ou, > mais precisamente, forçar uma elipse de focos 1 e -1?
Ainda estou nas contas, mas vou deixar minha ideia registrada: - Começa provando isso para o caso em que a dita inelipse é o famoso círculo unitário centrado na origem. - Uma transformação afim leva este círculo em uma elipse típica cujos eixos são os eixos coordenados. Verifica-se aonde foram parar os pontos do triângulo e aonde vão parar os focos da elipse, conferindo assim o teorema. - Verifica-se como rotações e translações podem alterar os valores relevantes ao problema, tratando assim do caso geral. > >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-03-24 20:13 GMT-03:00 Carlos P. <[email protected]>: >>> >>> Boa noite! >>> >>> Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos >>> sobre o TFA. >>> >>> 1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de >>> polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções inteiras tais que lim z >>> ---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se igualmente a qualquer inteira f >>> tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? Não está restrito a polinômios. >>> >>> 2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a existência de >>> raízes, mostre que há exatamente n raízes, contando suas ordens? Me >>> informaram que há uma >>> >>> Muito obrigado >>> >>> Carlos >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
