Em 23 de março de 2018 10:35, Claudio Buffara <[email protected]> escreveu: > Na verdade os meus questionamentos surgiram por causa do meu interesse em > ensino de matemática. > > Por exemplo, produtos notáveis e fatorações são notoriamente mal ensinados, > pelo menos nos livros didáticos de 8o e 9o ano que eu examinei.
Eu acho que uma motivação mais geométrica pode ser bastante útil para muitos produtos notáveis. Por exemplo, a diferença de quadrados é bem facilmente explicada de forma geométrica: um quadrado com um quadradinho a menos no canto pode ser quebrado em dois trapézios que formam um retângulo. O quadrado da soma é mais fácil ainda. Por outro lado, eu não penso que minha solução foi a mais mágica de todas, apenas era desconhecida. Sempre que noto uma expressão simétrica, eu penso em como escrevê-la em função ou dos polinômios simétricos elementares ou da soma de potências (x^k+y^k+z^k). > Nenhum menciona que: > a) as generalizações de (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 e x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) > para expoentes maiores levam ao teorema do binômio (erroneamente chamado de > binômio de Newton - nota histórica: Newton generalizou o teorema para > expoentes racionais) e à fórmula da soma dos termos de uma PG; > b) (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 é a base para a ideia de se completar > quadrados, a qual, por sua vez, não só resulta na fórmula para as raízes de > uma equação quadrática, mas também na elucidação das propriedades da função > quadrática; > c) o uso inteligente da expansão de (x+y)^3 leva à formula das raízes de uma > equação cúbica. Essa eu não conhecia. Ainda penso que as formas mais naturais de lidar com a cúbica são o Método Gugu-Euler (tentar uma solução da forma x=raizcúbica(y1)+raizcúbica(y2)) ou usar a fatoração de x^3+y^3+z^3-3xyz. Mas o cubo da soma, per se? Isso me parece mágico demais. (Acho que até imagino o que seja: identificar o termo constante com a soma de cubos e o termo "linear" com o triplo do produto...) > > *** > > Há tempos, o Hermann, participante desta lista, postou uma dúvida sobre > produtos notáveis e pediu dicas de livros com exercícios sobre produtos > notáveis e fatoração. > Eu tenho duas sugestões, ambas em inglês: > - Algebra, de I.M.Gelfand e A.Shen - Birkhäuser (este faz as generalizações > que eu mencionei acima) > - A Problem Book in Algebra, de V.A. Krechmar - Mir Publishers (pros > entusiastas) > Ambos estão disponíveis na Amazon. > > *** > > Anos atrás eu gostava de soluções "mágicas", obtidas por meio de alguma > sacada brilhante que eu jamais conseguiria ter. > Após me deparar com várias destas soluções, me ocorreu que elas talvez > tivessem um efeito perverso na motivação dos estudantes de matemática, pois > passavam a impressão de que é preciso ser um gênio para dominar a matéria. > Daí o meu interesse em saber como vocês obtiveram certas fatorações. > Entendo que trabalho braçal, experiência, alguma lógica e um pouco de > otimismo são, para a maioria de nós, as únicas formas de progredir na > resolução de um problema como o que deu origem a este thread. > > Dito isso (e posso estar enganado) nem o Pedro José e nem mais ninguém > explicou de onde veio a conjectura (correta) de que: > z = -(x+y)/2 é solução de (x + y)(y + z)(z + x)/2 + (x + y + z)3 = – xyz > > []s, > Claudio. > > > > 2018-03-23 6:20 GMT-03:00 Anderson Torres <[email protected]>: >> >> Em 21 de março de 2018 09:47, Claudio Buffara >> <[email protected]> escreveu: >> > Como você passou de: >> > 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1 >> > >> > Para: >> > 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1 >> >> It's kind of magic. Eu simplesmente abri tudo com vontade e notei >> certas repetições >> que sempre aparecem em certas fatorações; ou melhor dizendo, estava >> pensando em >> escrever tudo em termos dos famigerados polinômios simétricos e cheguei >> nisso. >> >> Sempre que vejo algo como (a^2b+ab^2), já escrevo ab(a+b) e tento >> procurar um abc >> para isso resultar em ab(a+b+c). >> >> Mas não avancei daí. Penso que dá para fatorar ainda mais... >> >> > >> > ??? >> > >> > []s, >> > Claudio. >> > >> > >> > 2018-03-20 23:14 GMT-03:00 Anderson Torres >> > <[email protected]>: >> >> >> >> Em 13 de março de 2018 20:19, Douglas Oliveira de Lima >> >> <[email protected]> escreveu: >> >> > Essa achei legal e estou postando. >> >> > >> >> > Resolva nos inteiros a seguinte equação: (x + y)(y + z)(z + x)/2 + >> >> > (x + >> >> > y + >> >> > z)3 = 1 – xyz . >> >> > >> >> >> >> Substituição mágica: x=-a+b+c, y=a-b+c, z=a+b-c. Com isso, x+y=2c, >> >> x+y+z=a+b+c e >> >> >> >> 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1 >> >> >> >> Usando polinômios simétricos, >> >> >> >> 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1 >> >> >> >> Agora estou confuso... >> >> >> >> > Abraço do >> >> > Douglas Oliveira >> >> > >> >> > -- >> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> >> >> >> ========================================================================= >> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> >> >> >> ========================================================================= >> > >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
