Puxa !
Que ótimo! Terei fim de semana !!!!
Graças a você, desatraquei.... :-)
Grande abraço,
Nehab
Paulo Santa Rita escreveu:
Ola Denisson, Nehab e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Pessoal, penso que e natural que esta convivencia informal que
cultivamos aqui inevitavelmente nos leva a desenvolver certa simpatia
por algumas pessoas... Estou seriamente preocupado com o nosso amigo
Nehab, pois, pelo que estou sabendo das ultimas mensagens, ele esta em
seu escritorio, atracado com um violento Sangaku. Alguem tem noticias
dele ?
Bom, amenidades a parte, vamos tentar domar este violento sangaku. Vou
usar a figura sugerida pelo Denisson, na mensagem abaixo.
Seja AP=X. Sejam tambem :
1) T1, T2 e T3 os pontos de tangencia do circulo ( raio R2 ) inscrito
no traingulo ABP respectivamente nos lados AB, AP e PB
2) Q1, Q2 e Q3 os pontos de tangencia do circulo ( raio R1) inscrito
no triangulo PCD respectivamente nos lados CD, DP e PC.
R3 e o raio do circulo inscrito no triangulo BPC
E facil ver que a area do triangulo BPC e sempre 1/2, independente do
valor de AP=X que escolhermos. Sabemos que esta area pode ser expressa
assim :
1/2 = R3 *( semi-perimetro do traingulo BPC )
E quem e o semi-perimetro do traingulo BPC ? Vejamos :
PB = PT3 + T3B = X - R2 + 1 - R2 = 1 + X -2*R2
PC = PQ3 + Q3C = (1-X) - R1 + 1 - R1 = 2 - X - 2*R1
BC = 1
Logo : semi-perimetro = (4 -2*R1 - 2*R2)/2 = 2 - R1 - R2. E daqui segue :
R3*(2 - R1 - R2) = 1/2 => 2 - ( 1/2*R3 ) = R1 + R2
Ou seja, a relacao acima entre os 3 raios independe do valor AP=X que
escolhermos.
Agora vamos a pergunta dois :
Existe X tal que R1:R2:R3 = 1:2:3 ?
Se existir um tal X entao R1 + R2 + R3 / 6 = R3/3. Substituindo R1 +
R2 por 2 - ( 1/2*R3), ficara :
2 - (1/2*R3) + R3 = 2*R3 => R3 = (2 - raiz_quad(2) ) / 2
( a outra raiz nao serve por ser maior que 1 )
E facil ver que este valor so ocorre quando AP=X=0, reduzindo-se um
dos circulos a um ponto. Assim, nao existe X > 0 que torne R1:R2:R3 =
1:2:3.
Um Abraco a todos !
PSR, 61505090B21
2009/5/14 Carlos Nehab <[email protected]>
Oi, Santa Rita,
O problema do problema é efetivamente evitar o sistema que você mencionou,
que é do terceiro grau...
Aliás, os problemas de geometria ditos "quadráticos" são quase sempre
triviais.
Os bons problemas, em 90% dos casos, são quase sempre "cubicos".
To atracado com o problema, tentando uma soluao geométrica. Guenta a
mão Denilson... :-)
Abraços
Nehab
2009/5/14 Denisson <[email protected]>:
Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos
problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a
maioria
ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em
particular
que eu não consegui fazer:
Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e
D.
Trace a reta BP e a reta PC. Inscreva um círculo em cada um dos 3
triângulos
ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos
3
círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do
ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3?
Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias.
--
Denisson
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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