Oi, Santa Rita,
O problema do problema é efetivamente evitar o sistema que você
mencionou, que é do terceiro grau...
Aliás, os problemas de geometria ditos "quadráticos" são quase sempre
triviais.
Os bons problemas, em 90% dos casos, são quase sempre "cubicos".
To atracado com o problema, tentando uma soluao geométrica. Guenta a
mão Denilson... :-)
Abraços
Nehab
Paulo Santa Rita escreveu:
Ola Denisson e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Eu acho que voce queria dizer : "trace a reta BP e a reta PC", certo ?
Se for assim, a sua questao e simples, pois, fazendo AP=X, e facil
ver que o triangulo ABP tem catetos 1 e X e o triangulo PCD tem
catetos 1 e 1-X. Isto implica que suas hipotenusas estao determinadas
pelo teorema de pitagoras. Ora, estas hipotenusas sao precisamente
dois dos lados do triangulo BPC, sendo o terceiro lado igual a 1.
Conhecemos portanto todos os lados dos tres triangulos ( em funcao de
AP=X.). Lancando mao da expressao :
R = ( (p(p-a)(p-b)(p-c) )^0.5 / p
onde "p" e o semi-perimetro do triangulo de lados "a", "b" e "c",
obtemos os raios Ri dos circulos inscritos nos triangulos. Deste como
conhecemos R1, R2 e R3 em funcao de X. Com as expressos dos raios (
funcao de X ) que obtivemos acima, fazemos :
R1 = R2/2
R2/2 = R3/3
Caso o sistema acima admita uma ou varias solucoes, trata-se da
resposta a sua segunda pergunta. E logico que pode haver um caminho
mais elegante, partindo, por exemplo, de uma construcao geometrica
auxiliar. Fica a sugestao... Confesso, entretanto, que o que me levou
a lhe responder, apresentando uma solucao "forca bruta" como esta,
foi sobretudo outro motivo ...
O que sao estes "Problemas de Sangaku" ? Nunca ouvi alguem falar sobre isso.
Um abraco a todos !
PSR, 51405091108
2009/5/14 Denisson <[email protected]>:
Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos
problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a maioria
ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em particular
que eu não consegui fazer:
Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e D.
Trace a reta BP e a reta BC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 triângulos
ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos 3
círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do
ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3?
Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias.
--
Denisson
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================
