Nicolau C. Saldanha wrote:
On Wed, Oct 20, 2004 at 06:46:41PM -0300, Domingos Jr. wrote:para concluir, ent�o... existem mais conjuntos Lebesgue-mensur�veis do que conjuntos n�o-Lebesgue-mensur�veis?
Depois de falar com um professor meu do IME eu acho que entendi no que eu errei. J� vou avisando para ter paci�ncia j� que meus conhecimentos sobre integral de Lebesgue tem medida nula...
N�o entendi. Se f � uma fun��o bem comportada no IR^2, porque ela n�o seria integr�vel? Pelo pouco que eu li, qualquer fun��o cont�nua nos reais (usando a medida de Lebesgue) � integravel.
Em que sentido f seria bem comportada? Ela certamente n�o � cont�nua.
Inicialmente eu pensei em definir f(x, y) para todo R^2. Algo como f(x, y) = exp{-x^2 - y^2} que � positiva para todo x, y e tem volume finito (por sinal, o volume sobre todo R^2 � PI!). Sem d�vida f � bem comportada. A id�ia ent�o era integrar uma fun��o bem comportada num conjunto muito mal comportado! Eu achava que com integrais de Lebesgue isso seria sempre poss�vel, mas talvez meu argumento falhe pois s� depois que esse meu professor falou que eu percebi que � necessario que o conjunto seja mensur�vel para que eu aplique a minha id�ia. Parece ent�o que se A � mensur�vel ent�o A n�o pode satisfazer as caracter�sticas enunciadas e isso pode ser demonstrado pelo meu argumento da integral, certo?
Correto: o seu argumento prova que n�o existe um conjunto A Lebesgue-mensur�vel satisfazendo as condi��es do problema.
e quanto ao problema 5 da OBM? eu acho que consegui demonstrar que o limite ficava entre duas constantes para qualquer valor de m... talvez eu tenha errado um pouco na minha estimativa por que o limite ficou entre 2 e 4 e eu acho que na verdade 2 � o m�ximo que o limite assume (ser� que 2 � sempre o limite?!), mas isso deve ter sido algum erro de conta mesmo.
Exatamente: n�o faz sentido integrar *nenhuma* fun��o sobre um dom�nio que n�o seja mensur�vel.
[]s, N.
ok!
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