On Wed, Oct 20, 2004 at 06:46:41PM -0300, Domingos Jr. wrote:
> >
> >
> >>N�o entendi. Se f � uma fun��o bem comportada no IR^2, porque
> >>ela n�o seria integr�vel? Pelo pouco que eu li, qualquer
> >>fun��o cont�nua nos reais (usando a medida de Lebesgue) �
> >>integravel.
> >>
> >>
> >
> >Em que sentido f seria bem comportada? Ela certamente n�o � cont�nua.
> >
> >
>
> Depois de falar com um professor meu do IME eu acho que entendi no que
> eu errei. J� vou avisando para ter paci�ncia j� que meus conhecimentos
> sobre integral de Lebesgue tem medida nula...
>
> Inicialmente eu pensei em definir f(x, y) para todo R^2. Algo como f(x,
> y) = exp{-x^2 - y^2} que � positiva para todo x, y e tem volume finito
> (por sinal, o volume sobre todo R^2 � PI!). Sem d�vida f � bem
> comportada. A id�ia ent�o era integrar uma fun��o bem comportada num
> conjunto muito mal comportado! Eu achava que com integrais de Lebesgue
> isso seria sempre poss�vel, mas talvez meu argumento falhe pois s�
> depois que esse meu professor falou que eu percebi que � necessario que
> o conjunto seja mensur�vel para que eu aplique a minha id�ia. Parece
> ent�o que se A � mensur�vel ent�o A n�o pode satisfazer as
> caracter�sticas enunciadas e isso pode ser demonstrado pelo meu
> argumento da integral, certo?
Correto: o seu argumento prova que n�o existe
um conjunto A Lebesgue-mensur�vel satisfazendo
as condi��es do problema.
> >>Vou ser mais espec�fico na minha fonte de leitura... eu li a
> >>descri��o do teorema de Tonelli em
> >>http://planetmath.org/encyclopedia/TonellisTheorem.html
> >>
> >>
> >
> >Nas hip�teses do teorema (no site que voc� indicou) aparece
> >que a fun��o deve estar em L^+(X x Y). Esta hip�tese n�o vale
> >em geral para a fun��o que voc� construiu.
> >
> >
> >
> O problema � que n�o podemos afirmar que A � mensur�vel e portanto f
> pode ser bem comportada no R^2 mas n�o integr�vel em A, certo?
Exatamente: n�o faz sentido integrar *nenhuma* fun��o sobre um dom�nio
que n�o seja mensur�vel.
[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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